CDF：累積分布函數

無記憶性的定義: 如果 , 有 , 則隨機變量X稱為無記憶的. 根據條件概率的公式, 無記憶性質的等價條件是 . 如果記X的累計密度函數(CDF)為 , 也可以表達為 .

注意, 指數分布和幾何分布的CDF是 , . 顯然是滿足無記憶性的. 但是怎么證明除了幾何分布與指數分布外, 其他分布都不滿足無記憶性呢? 我們容易看出, 對于定義在非負實數域上的函數 , 若 成立, 則這個函數方程的右連續解只有 . ?所以, 連續性隨機變量只有指數分布是無記憶的. 離散情形類似.

所以啊, 無記憶性的定義暗示了只有指數分布和幾何分布滿足, 其他分布都不滿足!

指數分布的無記憶性與現實生活中出現的情況向矛盾。因此對于現實生活中一般電子產品或者機械工業中經常磨損的物品不能使用指數分布預測其壽命。但是對于一些高穩定性的特殊物品可以使用指數分布。

可以用等公交車作為例子：
某個公交站臺一個小時內出現了的公交車的數量 就用泊松分布來表示
某個公交站臺任意兩輛公交車出現的間隔時間 就用指數分布來表示

總結

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