參考文獻：Closed-form solution of absolute orientation using unit quaternions

1，求解步驟

會將當前關鍵幀地圖點和閉環關鍵幀地圖點進行Bow匹配，匹配上的兩組3D點集之間可以用RANSAS求解Sim3變換，從而獲得當前關鍵幀相對于閉環關鍵幀的Sim3，然后傳播到相連關鍵者，并調整地圖點，從而完成閉環調整。
? ? ? ? 兩張圖上有n個點，令兩圖上的點為

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ? ? ?從左圖到右圖的關系:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? 下圖為計算質心，并求每點到質心的距離，這個距離的累加是等于零的，求取誤差的平方和。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 如上式第一項和第三項是非零的，第一項與無關，要求此項的最小值，可以令等于零。

? ? ? ? ? ? ?誤差可等于：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由于旋轉不會改變長度的大小：? ??

令誤差等于相當于除了一個根號s，我們只是求誤差的最小值，除以一個系數是沒關系的，這樣做的好處是最后求得的s與旋轉因子無關，并且便于后面求解。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ?上如第三個式子是讓平方項等于零，這樣才能使值更小。這樣求出s。?

? ? ? ? ?這樣就簡化式子成求的最大值。

? ? ? ? 上式用四元數表示的形式：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?

? ? ? ? ? ?上面的式子主要就是要把N表達出來。?

? ? ? ? ? ? 現在要把M引出來:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 把M弄成上面的形式，每一項都是可以求出來的，上面只列舉了兩項。

? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?引出M來就是為了讓其中的量來表示N，如上式。接下來就是求解最大的正特征值的過程。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 上式求出來的最大特征值，e對應其特征向量。并且就是四元數q的值。求證如下：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 四元數可以用特征向量表示??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 令??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?相當于

? ? ? ? ? ? ? ? ???理解四元數是怎么表示旋轉矩陣的然后就能求出旋轉R，然后求出相應的平移t，尺度s也在前面的? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?公式可以求出來。

? ? ? ? ? ? ? ? ? 想要更詳細理解此原理可以去看上面的參考文獻。這個算法的代碼在網上也是可以查的到的，我就不傳上來了。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的相似变换 SIM3的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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