前言

本文內容大部分來自Oier PoPoQQQ 的課件。\

onedrive, baidu

pan,密碼:6ug5\

本文基本上由我學習相當于是制作的一篇學習筆記，但是將課件中的一些不完善的地方加以完善

使得更容易理解，加上了部分例題的代碼

引子

介紹莫比烏斯反演之前我們先來看一個函數

根據的定義

于是我們便可以通過推導出

在推導的過程中我們是否發現了一些規律?

莫比烏斯反演

莫比烏斯反演[1]

莫比烏斯反演定義

其中為莫比烏斯函數[1]，定義如下

莫比烏斯函數的定義式[2]

莫比烏斯函數的性質

(1)

當n不等于1時，n所有因子的莫比烏斯函數值的和為0，\

設

那么

證明：

當的時候顯然成立當時質因子個數為的因子只有個接下來只需證明即可因為二項式定理令代入即可得證。

(2)

對于有:

只需要令，代入即可那么就有為什么成立？

(3)

積性函數 數論上積性函數的定義\

設函數其中對于任意都有則稱為一個積性函數；若對于任意都有則稱為一個完全積性函數。

積性函數的性質\

\

積性函數的前綴和也是積性函數\

\

因為積性函數是積性函數,

因此可以通過線性篩求出莫比烏斯函數的值mu[1]=1;

for(i=2;i<=n;i++){

if(!not_prime[i]){

prime[++tot]=i;

mu[i]=-1;

}

for(j=1;prime[j]*i<=n;j++){

not_prime[prime[j]*i]=1;

if(i%prime[j]==0){

mu[prime[j]*i]=0;

break;

}

mu[prime[j]*i]=-mu[i];

}

}

例題1:

題目大意：求第k個無平方因子數[3]\

做法：

首先二分答案，問題轉化為求之間有多少個無平方因子數\

根據容斥原理可知，對于之內所有的質數，

答案G(x)=0個質數平方倍數的個數-1個質數平方倍數的個數+2個質數平方倍數的個數-...，

那么對于偶數個質數平方對于答案的貢獻就是正的，否則是負的，\

如果不是若干個互異質數的乘積，那么對答案沒有影響，

如何表示這個式子呢?\

觀察莫比烏斯函數的定義[1]，可以知道對于能對答案產生貢獻的數，，其中為分解得到質數的個數

根據上述說明，那么可以得知結果\

#include

#include

#include

#define N 100005

using namespace std;

bool not_prime[N];

int prime[N];

int mu[N];

int tot;

void Mu(int n){

int i,j;

mu[1]=1;

for(i=2;i<=n;i++){

if(!not_prime[i]){

prime[++tot]=i;

mu[i]=-1;

}

for(j=1;prime[j]i<=n;j++){

not_prime[prime[j]i]=1;

if(i%prime[j]==0){

mu[prime[j]i]=0;

break;

}

mu[prime[j]i]=-mu[i];

}

}

}

int can(int x){

int sum=0;

int s=floor(sqrt(x));

for(int i=1;i<=s;++i)

if(mu[i])

sum+=mu[i]floor(x/(ii));

return sum;

}

int main(){

Mu(N);int T,sum;

scanf("%d",&T);

while(T--){

scanf("%d",&num);

long long l=1,r=num<<1,mid;

while(l

mid=(l+r)>>1;

if(can(mid)

l=mid+1;

else r=mid;

}

printf("%lld\n",r);

}

return 0;

}

莫比烏斯反演定理的證明

證明：

形式二:

證明同理，一般要用到的都是這種形式

莫比烏斯反演的應用

對于一些函數,如果我們很難直接求出它的值，而容易求出倍數和或約數和,

那么我們可以直接利用莫比烏斯反演來求得的值

例:

f(n)表示某一范圍內(x,y)=n的數對的數量，\

F(n)表示某一范圍內n|(x,y)的數對的數量\

那么直接求f(n)并不是很好求，而F(n)求起來相對無腦一些，\

那么我們可以通過對F(n)進行莫比烏斯 反演來求得f(n)

例題2:

題目大意：詢問有多少對滿足且。

根據容斥原理，這個題目就可以轉化成

其中答案為

那么我們需要快速求出

這個式子可以進一步轉化為

考慮莫比烏斯反演, 令

反演后可得

分析可知這個算法的復雜度是

我們還需要對這個算法進行進一步優化

因為至多只有個取值，

那么至多只有個取值

因為使得成立的值都是連續的，

所以可以維護一個莫比烏斯函數的前綴和，

這樣就可以在的時間內出解

枚舉除法的取值在莫比烏斯反演的應用當中非常常用if(a>b)swap(a,b);

for(i=1;i<=a;i=last+1){

last=min(a/(a/i),b/(b/i));

re+=(a/i)(a/i)(sum[last]-sum[i-1]);

}

return re;

代碼異常好寫#include

include

include

define N 50005

define inf 0x7fffffff

using namespace std;

bool not_prime[N];

int prime[N];

int sum[N];

int mu[N];

int tot;

void Mu(int n){

int i,j;

mu[1]=1;

for(i=2;i<=n;i++){

if(!not_prime[i]){

prime[++tot]=i;

mu[i]=-1;

}

for(j=1;prime[j]i<=n;j++){

not_prime[prime[j]i]=1;

if(i%prime[j]==0){

mu[prime[j]i]=0;

break;

}

mu[prime[j]i]=-mu[i];

}

}

for(int i=1;i<=n;++i)

sum[i]=sum[i-1]+mu[i];

}

int ans(int n,int m){

if(n>m)swap(n,m);

int last,i,re=0;

for(i=1;i<=n;i=last+1){

last=min(n/(n/i),m/(m/i));

re+=(n/i)(m/i)(sum[last]-sum[i-1]);

}

return re;

}

int main(){

Mu(N);

int T;

int a,b,c,d,k;

scanf("%d",&T);

while(T--){

scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);

a--;c--;

a/=k;b/=k;c/=k;d/=k;

int Ans=ans(b,d)-ans(a,d)-ans(b,c)+ans(a,c);

printf("%d\n",Ans);

}

return 0;

}

BZOJ 10s但是luogu卻莫名WA\

全部加上long long 之后總算是過了\

百思不得其解

例題3

BZOJ 2820

YY的GCD\

題目大意：求有多少數對滿足滿足為質數

做法：

令令

[1]baike:莫比烏斯反演是數論數學中很重要的內容，可以用于解決很多組合數學的問題。 ?

[2] ?

[3]無平方因子數(Square-Free

Number)，即分解之后所有質因數的次數都為1的數 ?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的c莫比乌斯函数_莫比乌斯函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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