亿阳信通：不可表示的数
前些日子在網上發現一道編程題目，引用如下：
題目詳情:
本題的獎品由億陽信通贊助，以下是題目詳情：
給定表達式[x/2] + y + x * y, 其中x,y都是正整數。其中的中括號表示下取整，例如[3/2] = 1 ， [5/2] ?= 2。
有些正整數可以用上述表達式表達出來，例如正整數2，當取x = y = 1時，可以把2表達出來
（ 解釋下：當x=y=1時， [x / 2] + y + x * y = [1 / 2] + 1 + 1 * 1 = 0+1+1 = 2 ）；
有些數可以有多種方式表達，例如13可以由 x = 2 y = 4 以及x = 3 y = 3來表示；
有些數無法用這個表達式表達出來，比如3。
從1開始第n個不能用這個表達式表示出來的數，我們叫做an，例如a1=1 a2=3,給定n，求an。
輸入：n值 1<=n<=40
輸出：an % 1000000007的結果（因為結果較大，輸出an %1000000007的結果）。
函數頭部
C/C++：
int givean(int n);
java：
public class Main {
? ? ? public static int givean(int n) {
? ? }
}
答題說明:
main函數可以不用完成，完成givean函數即可，givean函數外可編寫其它函數。
一時興起，就嘗試解答此題，思路：使用二重循環窮舉法來判斷一個數是不是不可表示的數。
我的代碼：
public static int givean(int n){if (n < 1 || n > 40){return -1;}long i = 0;while (n > 0){i++;if (isUndisplayNumber(i)){n--;}}return (int) (i % 1000000007);}/*** 判斷n是否為不可表示數* * @param n* @return*/private static boolean isUndisplayNumber(long n){if (n == 1 || n == 3){return true;} else if (n % 2 == 0){return false;}for (long i = 1; i <= n; i++){for (long j = 1; j <= n; j++){long m = i / 2 + j + i * j;if (m > n){break;}if (m == n){return false;}}}return true;}編譯和測試結果顯示正常（其實givean(6)運行已經超時，超過100s），提交結果：
【抱歉，處理您的請求時出錯。】
知道這是因為我的窮舉法太費時了，嘗試了幾種優化方案，但效果都不明顯。在此標記，以備后學！
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備注：
后來利用搜索引擎在開心問答網上搜到一篇相關文章（http://www.kaixinwenda.com/article-lzc52151-9957839.html），分析如下：
推導：
1、? 對[x/2] + y + x * y分析，試探：x=1，原式=2y，表示所有偶數，即對所有偶數都能用此式表示，故后文重點討論哪些奇數不能被其表示（本文討論的所有奇偶數都為非負數）。
2、? 對x分為4n,4n+1,4n+2,4n+3四種情況討論。
容易得到，x=4n+1時，不論y取何值，原式必為偶數，與1)中情況重復，故舍去不討論；
x=4n時，y=2m+1才能保證原式為奇數，其中要保證n>0；
x=4n+2時，y=2m才能保證原式為奇數，其中要保證m>0；
x=4n+3時，y=2m或2m+1都能使原式為奇數；
故只討論后三種情況。
3、? 把x=4n，y=2m+1代入原式易得2(m+n)+8mn+4n+1、n>0；
把x=4n+2，y=2m代入原式易得2(m+n)+8mn+4m+1、m>0；
明顯，這兩種情況可表示的奇數是相同的，故只需研究其中一種即可。
總結一下，目前已知原式對所有偶數可表示，對哪些奇數可表示呢？我們要研究的情況只有兩種x=4n+2（即x=4n）與x=4n+3時的情況。
4、? 對x=4n+2時，不限制y的奇偶性，此情況下，原式可表示為2n+3y+4ny+1；
對x=4n+3時，不限制y的奇偶性，，此情況下，原式可表示為2n+4y+4ny+1；
下面我們重點討論這兩種情況表示的奇數包括哪些。
5、? 對x=4n+3，原式=2n+4y+4ny+1=2(n+1)(2y+1)-1，即表示一個奇數(2y+1)的偶數倍減1。也就是說x=4n+3情況時，表示的奇數都具備一個特征：這個奇數可以寫成一個奇數的偶數倍減1。
故我們可以得到下面的結論：在x=4n+3的情況下，如果偶數B能寫成一個奇數的偶數倍，即奇數與偶數的乘積，那么奇數A=B-1可以被原式表示。
其逆否命題：在x=4n+3的情況下，奇數A=B-1不可以被原式表示，則偶數B不能寫成奇數與偶數的乘積，即其因子分解只能寫成偶數與偶數的乘積。
一個偶數因子分解只能寫成偶數與偶數，只有2的冪了。
故得到結論：在x=4n+3的情況下，不可以被原式表示的奇數都是2的冪減1。
6、? 對x=4n+2，原式=2n+3y+4ny+1=[(4n+3)(2m+1)-1]/2，即表示兩個奇數的積減1的差的一半。也就是說x=4n+2情況時，表示的奇數都具備一個特征：這個奇數可以寫成兩個奇數的積(4n+3)(2m+1)減1的差的一半。
換句話說，在x=4n+2的情況下，原式所能表示的奇數A都可以寫成兩個奇數的積減1的差的一半。反過來，2A+1必定能寫成兩個奇數的積。
而對任意的2A+1必為奇數，它要么能寫成兩個奇數的積要么是素數。
故得到結論：在x=4n+2的情況下，不可以被原式表示的奇數A都是某個素數減1的差的一半。
7、? 把1）、5)與6)的結論綜合起來，對任意正整數x、y，如果不能被原式表示，它必定是奇數，這個奇數必定是2的冪減1，同時是某個素數減1的差的一半。
用形式化語言表達，對任意正整數x、y，不能被[x/2] + y + x * y表示的數，必定可以寫成2^p-1，且2^(p+1)-1是一個素數。
8、? 于是我們得到這個問題的解答：an中的元素都滿足2^p-1且2^(p+1)-1是素數。
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編程求解：
問題從數學上已經解決了，并得到了一個漂亮的解答。但如何求2^p-1，還要判斷2^(p+1)-1是否為素數，這都是非常困難。
一步步來，求素數，傳統方法當然是素性檢測，以前寫過一個拉賓米勒測試，很復雜。但突然意識到對2^p-1如果是素數的話，數論被叫做梅森素數，前人肯定有總結。
百度一下，前40個梅森素數的冪指數(p+1)取值為：2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127,521,607,1279,2203,2281,3217,4253,4423,9689,9941,11213,19937,21701,23209,44497,86243,110503,132049,216091,756839,859433,1257787,1398269,2976221,3021377,6972593,13466917,20996011。
有了梅森素數，只要求相應的2^p-1即可。素數的問題是解決了，但2^20996011是個什么概念，天文數字，再強大計算機一時半會兒也算不出來。幸好題目是拿an對1000000007取模。通過模運算可以簡化問題。
模運算(2^p-1)%N=(2^p%N-1)%N，在這里等于2^p%N-1。但下面一個問題來了2^p%N怎么求？
2^p%N是一個龐大的數，傳統的方法是遞歸，無論從空間還是時間上來說都不解決問題。幸好往日有積累，對這種變態需求，當然有特殊手段。運用蒙哥馬利算法可以迅速解決，秒殺之。
最后得到an的前40個數：1,3,15,63,4095,65535,262143,73741816,536396503,140130950,487761805,319908070,106681874,373391776,317758023,191994803,416292236,110940209,599412198,383601260,910358878,532737550,348927936,923450985,470083777,642578561,428308066,485739298,419990027,287292016,202484167,389339971,848994100,273206869,853092282,411696552,876153853,90046024,828945523,697988359。
提交代碼的時候，寫成枚舉，成功!
總結
以上是生活随笔為你收集整理的亿阳信通：不可表示的数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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