之前介紹了關(guān)于空間域?yàn)V波的一些操作，主要目的是減少噪聲和平滑圖像，空間域的處理方法都是在已知噪聲數(shù)據(jù)類(lèi)型基礎(chǔ)上進(jìn)行噪聲過(guò)濾的，而在某些噪聲圖像類(lèi)別上上述方法就顯得十分渺小了，頻率域的引入就是來(lái)尋找噪聲的類(lèi)型，并進(jìn)行空間過(guò)濾的。其中頻率是單位時(shí)間變化期間，一個(gè)周期函數(shù)重復(fù)相同值序列的次數(shù)。頻率域?yàn)V波(即波數(shù))為圖像像元的灰度值隨著位置變化的空間頻率，以頻譜表示信息分布特征，可以將一幅圖像像元值在空間上的變化分解為 具有不同振幅、空間頻率和相位的簡(jiǎn)振函數(shù)的線性疊加，圖像中各種空間頻率成分的組成和分布稱(chēng)為空間頻譜。這種對(duì)圖像的空間頻率特征進(jìn)行分解、處理和分析稱(chēng)為頻率域處理。頻率中最典型的就是傅立葉變換，傅立葉變換能把圖像從空間域變換到只包含不同頻率信息的頻率域，原圖像上的灰度突變部位、圖像結(jié)構(gòu)復(fù)雜的區(qū)域、圖像細(xì)節(jié)及干擾噪聲等信息集中在高頻區(qū)，而原圖像上灰度變化平緩部位的信息集中在低頻區(qū)(變換函數(shù)還有小波變換，將在后續(xù)進(jìn)行分析和解析)。

傅立葉變換

傅立葉變換是將時(shí)間域轉(zhuǎn)換為頻率域的工具，傅立葉指出任何周期或函數(shù)都可以表示為不同頻率的正弦和/或余弦之和的形式，每個(gè)正弦和/或余弦乘以不同的系數(shù)（稱(chēng)該和為傅立葉級(jí)數(shù)）。無(wú)論函數(shù)多么復(fù)雜，只要它是周期的，并且滿(mǎn)足一定條件，都可以用這樣的和表示。一維變換函數(shù)（一對(duì)，變換及反變化函數(shù)）為：

其中，變換后的的函數(shù)F(x)，f(t)為變換前周期函數(shù)，μ為周期函數(shù)分量，周期從0到1/2π。

利用一維變量擴(kuò)展到二維變量，二維傅立葉變換公式為：

e^j2π(xμ+yv)實(shí)際上是一個(gè)平面波（的共軛），它的傳播方向與(u,v)相同，角頻率是 根號(hào)下x^2+y^2。可以看做是平面波在x方向的角頻率是u和y方向的角頻率是v。二維傅立葉變換具有旋轉(zhuǎn)不變性了（證明：如何證明二維離散傅里葉變換的旋轉(zhuǎn)不變性？）。同時(shí)，變換完，中心是兩個(gè)角頻率都為0（直流分量），越靠近中心，兩個(gè)方向的角頻率越低，合成的角頻率與到中心的距離成正比，所以中心是低頻分量，外部是高頻分量。幅度決定圖像的強(qiáng)弱，相位覺(jué)得圖像的像素。分析

頻率域?yàn)V波基本步驟

preprocessing：圖像預(yù)處理步驟，用0填充f(x,y)，在二維循環(huán)卷積時(shí)為了保證周期性進(jìn)行0填充（傅里葉變換濾波時(shí)，為什么需要對(duì)輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行零填充？）

Fourier transform：圖像傅立葉變換

filter function：濾波器

Inverse Fourier transform：反向傅立葉變換

postprocessing：圖像裁剪，輸出g(x,y)

偽流程：

1.f(x,y)是由MxN構(gòu)成，填充圖像大小為P(P=2M)xQ(Q=2N)，f_p(x,y)

2.將f_p(x,y)利用-1^(x+y)將圖片濾波器移動(dòng)到中心，低頻部分移到中間，高頻部分移到四周，以便后面的計(jì)算。

3.計(jì)算f_p(x,y)傅立葉變化得到F(u,v)

4.生成一個(gè)實(shí)的、對(duì)陣的過(guò)濾器，中心在（P/2,Q/2），大小為PxQ

5.計(jì)算H(u,v)F(u,v)，并進(jìn)行換位，得到初始時(shí)圖像的傅立葉變換（DEF）的數(shù)據(jù)排列形式，即低頻部分在四周，高頻部分在中間（原點(diǎn)在左上角意味著低頻部分在左上角，又因?yàn)榈腄EF是中心對(duì)稱(chēng)的，可得初始時(shí)圖像的DEF應(yīng)是低頻在四周高頻在中間）。

6.計(jì)算反傅立葉函數(shù)，得到每個(gè)元素的幅度（實(shí)部和虛部平方和的平方根），并取左上角MxN區(qū)域，得到最終的輸出圖像g(x,y)。

過(guò)濾器

將一幅圖像的模糊化（頻率域平滑）可通過(guò)高頻的衰減來(lái)達(dá)到，稱(chēng)為低通濾波器。

將一幅圖像的銳利化（邊緣聚變與高頻有關(guān)）可通過(guò)低頻的衰減來(lái)達(dá)到，稱(chēng)為高通濾波器。

a.低通濾波器

（1）理想低通濾波器

在以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的園內(nèi)，無(wú)衰減地通過(guò)所有頻率，而在該圓外"切斷"所有頻率的二維低通濾波器，稱(chēng)為理想低通濾波器，它由下面函數(shù)確定：

其中，D(u,v)是頻率域中點(diǎn)(u,v)與頻率矩陣中心的距離，即：

圖4.40(a)中是H(u,v)的透視圖，圖b顯示了以圖像顯示的濾波器，表明在半徑D0的圓內(nèi)，所有頻率都無(wú)衰減的通過(guò)，而在此圓外的所有頻率則是完全被衰減（濾除）。理想低通濾波器是關(guān)于原點(diǎn)徑向?qū)ΨQ(chēng)的，這意味著該濾波器完全是一個(gè)徑向橫截面來(lái)定義，將圖繞著H(u,v) 360度旋轉(zhuǎn)則得到圖a。

（2）布特沃斯低通濾波器

截止頻率位于距原點(diǎn)D0處的n階布特沃斯低通濾波器（BLPF）的傳遞函數(shù)定義如下：

BLPF傳遞函數(shù)并沒(méi)有在通過(guò)頻率和濾除頻率之間給出明顯截止的尖銳的不連續(xù)性。圖4.44(a)是透視圖，表明在半徑D0的圓內(nèi)，頻率是有規(guī)則的通過(guò)，而在此圓外的所有頻率則是完全被衰減（濾除）。在空間域的一階布特沃斯濾波器沒(méi)有振鈴現(xiàn)象，在二階濾波器中，振鈴現(xiàn)象通過(guò)很難察覺(jué)（通過(guò)設(shè)置不同的n值，二階的BLPF是在有效的低通濾波和可接受的振鈴特性之間好的折中），單更高階數(shù)的濾波器中振鈴現(xiàn)象會(huì)很明顯。

（3）高斯低通濾波器

二維高斯低通濾波器（GLPF）形式如下：

其中D(u,v)是距離頻率矩形中心的距離，是關(guān)于中心擴(kuò)展度的度量。圖4.47顯示了一個(gè)GLPF函數(shù)的透視圖、圖像顯示和徑向剖面圖。GLPF的傅立葉反變換也是高斯的，從圖a看得到的空間高斯濾波器沒(méi)有振鈴。

b.高通濾波器

通過(guò)衰減圖像的傅立葉變換的高頻成分可以平滑圖像。因?yàn)檫吘壓推渌叶鹊募眲∽兓c高頻分量有關(guān)，所以圖像的銳化可在頻率域通過(guò)高通濾波來(lái)實(shí)現(xiàn)，高通濾波會(huì)衰減傅立葉變換中的低頻分量而不會(huì)擾亂高頻信息。

（1）理想高通濾波器

一個(gè)二維理想高通濾波器（IHPF）定義為

其中是截止頻率，D(u,v)是頻率域中點(diǎn)(u,v)與頻率矩陣中心的距離。在這種濾波器下，IHPF把以半徑為的圓內(nèi)的所有頻率置0，而毫無(wú)衰減地通過(guò)圓外的所有頻率。和理想低通過(guò)濾器完全相反。下圖為理想高通濾波器的透視圖、圖像表示和剖面圖。

（2）布特沃斯高通濾波器

截止頻率的n階布特沃斯高通濾波器(BHPF)定義為：

類(lèi)似于低通濾波器，BHPF比IHPF更平滑一些。下圖為布特沃斯高通濾波器的透視圖、圖像表示和剖面圖。

（3）高斯高通濾波器

截止頻率出在距頻率矩形中心距離為的高斯高通濾波器(GHPF)的傳遞函數(shù)：

類(lèi)似高斯低通濾波器，高斯高通濾波器比理想高通濾波器、布特沃斯高通濾波器平滑效果更好一些。即使是對(duì)微小物體和細(xì)線條使用高斯濾波器濾波，結(jié)果也是比較清晰的。下圖為高斯高通濾波器的透視圖、圖像表示和剖面圖。

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https://blog.csdn.net/liuweiyuxiang/article/details/77040942

https://blog.csdn.net/nanhuaibeian/article/details/90738701

https://blog.csdn.net/chanxiaogang/article/details/45226373

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總結(jié)

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