文章目錄

• • • • 等價關系與劃分對應問題
      • 第二類斯特林數計算公式
      • 4元集等價關系計算
      • 6元集等價關系計算

等價關系與劃分對應問題

等價關系 與 劃分 計算 :

• 1.等價關于 與 劃分 一一對應 : 非空集合 $A$ 上的等價關系 與 $A$ 上的劃分是 一一對應 的 ;
  ( $A$ 上有多少個 不同的 等價關系 , 就產生同樣個數的不同的劃分 )
• 2.數學模型 : 將 $n$ 個不同的球 , 放入 $r$ 個相同的盒子中 , 并且不能出現空盒 , $n\ge r$ ; 不同的放球方法對應不同的劃分數 ;
• 3.第二類 Stirling 數 : 將 $n$ 個不同的球, 放入 $r$ 個相同的盒子中 , 方案數記做 $S(n,r)$ , 或 $\left\{\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right\}$ ;

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第二類斯特林數計算公式

第二類 Stirling 數計算方法 :

• 1.Stirling 數計算公式 :
  • ① $S(n,0)=0$
  • ② $S(n,1)=1$
  • ③ $S(n,2)=2^{n?1}?1$
  • ④ $S(n,n?1)=C(n,2)$
  • ⑤ $S(n,n)=1$
• 2.Stirling 數遞推公式 : $S(n,r)=rS(n?1,r)+S(n?1,r?1)$

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4元集等價關系計算

題目 : 等價關系

• 條件 : 集合 $A=\{a,b,c,d\}$ ;
• 問題 : 上述集合有多少等價關系 ;

解答 :

分析 :

• 1.有序對個數 : 集合 $A$ 上有 $4\times 4=16$ 個有序對 ;

• 2.二元關系個數 : 集合 $A$ 上的 二元關系 個數 是 $2^{有序對個數}=2^{16}$ 個 ;

  • ① 公式推演 : 每個二元關系有 $0$ 到 $16$ 個不等的有序對個數 , 分別統計 有 $0$ 個有序對 , $1$ 個有序對 , $2$ 個有序對 , $?$ ,$16$ 個有序對的 情況 ;
  • ② 計算過程 : $C(16,0)+C(16,1)+C(16,2)+?+C(16,16)=2^{16}$ ;

• 3.無法直接得出等價關系數 : $A$ 上有 $2^{16}$ 個二元關系 , 逐個驗證 等價關系 要求的 自反 , 對稱 , 傳遞 性質 , 肯定行不通 , 計算量巨大 ;

• 4.求劃分個數 : 集合 $A$ 的 等價關系個數 與 劃分個數 是一一對應的 , 因此求其劃分個數即可 ;

分步求解 :

① 使用 第二類 Stirling 求其不同的劃分個數 :
$S(4,1)+S(4,2)+S(4,3)+S(4,4)$

② 根據公式 : $S(n,1)=1$ , 計算 Stirling 數的值 :
$S(4,1)=1$

③ 根據公式 : $S(n,2)=2^{n?1}?1$ , 計算 Stirling 數的值 :
$S(4,2)=2^{4?1}?1=2^3?1=7$

④ 根據公式1 : $S(n,n?1)=C(n,2)$ ( Stirling 數計算公式 ) , 根據公式2 : $C(n,r)=\frac{n!}{(n?r)!r!}$ , 計算 Stirling 數的值 :
$S(4,2)=C(4,2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=\frac{4!}{(4?2)!2!}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{2\times 2}=6$

⑤ 根據公式 : $S(n,n)=1$ , 計算 Stirling 數的值 :
$S(4,4)=1$

⑥ 最終劃分結果 : $A$ 上有 15 個劃分 ;
$S(4,1)+S(4,2)+S(4,3)+S(4,4)=1+7+6+1=15$

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6元集等價關系計算

題目 :

• 條件 : $A=\{1,2,3,4,5,6\}$
• 問題 : 計算$A$上的 二元關系 的 個數 和 $A$ 上等價關系的個數 ;

解答 :

二元關系個數 :

• 1> 集合元素個數 : 集合 $A$ 中有 $6$ 個元素 , $|A|=6$ ;
• 2> 有序對個數 : $|A|\times |A|=6\times 6=36$ ;
• 3> 二元關系個數 :
  • ① 推演過程 : 二元關系 包含 $0$ 到 $36$ 不等的有序對 , 那么需要考慮以上所有情況 , 分別統計 有 $0$ 個有序對 , $1$ 個有序對 , $2$ 個有序對 , $?$ ,$36$ 個有序對的 情況 ;
  • ② 計算公式 :$C(36,0)+C(36,1)+C(36,2)+?+C(36,36)=2^{36}$

等價關系個數 :

• 1> 一一對應 : 等價關系的個數 與 集合的劃分數 是一一對應的 ,
• 2> 進行劃分 : 將 集合 $A$ 劃分成 $1$ 塊 , $2$ 塊, $3$ 塊, $4$ 塊, $5$ 塊, $6$ 塊 ;
• 3>寫出對應式子 : 集合的劃分數為 $S(6,1)+S(6,2)+S(6,3)+S(6,4)+S(6,5)+S(6,6)$

逐個求出 $S(6,1)+S(6,2)+S(6,3)+S(6,4)+S(6,5)+S(6,6)$ 每個 Stirling 數的值 ;

① 根據公式 : $S(n,1)=1$ , 計算 Stirling 數的值 :
$S(6,1)=1$

② 根據公式 : $S(n,2)=2^{n?1}?1$ , 計算 Stirling 數的值 :
$S(6,2)=2^{6?1}?1=2^5?1=32?1=31$

③ 根據遞推公式 : $S(n,r)=rS(n?1,r)+S(n?1,r?1)$ , 計算 Stirling 數的值 :
$S(6,3)=3S(5,3)+S(5,2)$

拆分成下面兩部 進行計算 :

( 1 ) 先計算 $S(5,3)=3S(4,3)+S(4,2)$

• 1> 其中 使用公式 $S(n,n?1)=C(n,2)$ 計算 $S(4,3)$ :
  • $S(4,3)=C(4,2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=\frac{4!}{(4?2)!\times 2!}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{2\times 2}=6$
• 2> 使用公式 $S(n,2)=2^{n?1}?1$ 計算 $S(4,2)$ :
  • $S(4,2)=2^{4?1}?1=7$
• 3> $S(5,3)$ 結果 : $S(5,3)=3S(4,3)+S(4,2)=3\times 6+7=25$

( 2 ) 在計算 $S(5,2)$ 的結果 , 使用公式 $S(n,2)=2^{n?1}?1$ 進行計算 :
$S(5,2)=2^{5?1}?1=15$

( 3 ) 最終結果 : $S(6,3)=3S(5,3)+S(5,2)=3\times 25+15=90$

④ 根據遞推公式 : $S(n,r)=rS(n?1,r)+S(n?1,r?1)$ , 計算 Stirling 數的值 :
$S(6,4)=4S(5,4)+S(5,3)=4\times C(5,2)+25=4\times \frac{5!}{3!\times 2!}+25=4\times \frac{5\times 4\times 3\times 2}{3\times 2\times 2}+25=65$

⑤ 根據公式 : $S(n,n?1)=C(n,2)$ , 計算 $S(6,5)$ :
$S(6,5)=C(6,2)=\frac{6!}{(6?2)!\times 2!}=\frac{6\times 5\times 4\times 3\times 2}{4\times 3\times 2\times 2}=15$

⑥ 根據公式 : $S(n,n)=1$ , 計算 $S(6,6)$ ;
$S(6,6)=1$

⑦ 將上面計算的 $6$ 個斯特林數相加 , 得到的結果 :
$S(6,1)+S(6,2)+S(6,3)+S(6,4)+S(6,5)+S(6,6)=1+31+90+65+15+1=203$

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的【集合论】等价关系个数计算问题 ( 有序对个数计算 | 二元关系个数计算 | 划分 | 等价关系 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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