0.概述

在INS的各種誤差源中，影響最大的是慣性傳感器誤差，其中包括加速度計和陀螺儀的誤差。從誤差的性質上可以分為系統誤差和隨機誤差，而從誤差源上又可以分為零偏誤差、比例因子誤差、非線性誤差、安裝誤差以及隨機噪聲等。慣性傳感器誤差的大小與其質量相關，對于不同導航系統性能的需求，要求選擇的傳感器的等級也不同。在組合導航系統設計時，尤其是對于低成本的慣性傳感器，比如車載慣性導航系統，必須對慣性誤差進行在線估計和反饋補償。

1.主要誤差源

? 慣性傳感器誤差主要分為系統誤差和隨機誤差。又可稱為靜態誤差(加性誤差),如零偏Bias等和動態誤差（乘性誤差），如比例因子誤差、非正交耦合誤差等。

1.1系統誤差

系統誤差可以通過實驗校準進行補償，尤其對于高精度傳感器來說更是如此。常見的系統誤差包括系統零偏、比例因子誤差、非線性誤差、比例因子不對稱性、死區、量化誤差、非正交誤差、不重合誤差等。

1.1.1 系統零偏（Systematic Bias Offset）

?系統零偏是所有加速度計和陀螺儀表現出來的一種偏差，可將其定義為零輸入下的傳感器輸出，如下圖所示，它與比力和角速度無關。

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1.1.2 比例因子誤差（Scale Factor Error）

比例因子誤差是系統輸入——輸出斜率的偏差。由比例因子誤差引起的加速度計輸出誤差與沿敏感軸的真實比力成正比，由比例因子誤差引起的陀螺儀輸出誤差與沿敏感軸的真實角速率成正比。如下圖所示為比例因子的影響。

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1.1.3 非線性誤差（Non-linearity）?

輸入與輸出之間的非線性示意圖如下所示。? ? ? ? ? ? ? ?????????????????????????????????????????? ? ? ? ? ? ?
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1.1.4 比例因子不對稱（Scale Factor Sign Asymmetry）

在正輸入與負輸入時，比例因子不對稱情況如圖所示。

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1.1.5 死區（Dead Zone）

死區是指在有輸入時也沒有輸出的一個范圍，如下圖所示。

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?1.1.6 量化誤差（Quantization Error）

量化誤差發送在所有以模擬量作為輸入的數字系統中，如下圖所示。

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? ?1.1.7 非正交誤差（Non-orthogonality Error）?

當傳感器的三軸不正交時，就會產生非正交誤差，非正交誤差是在機械制造時產生的。如下圖所示為z軸未對準時，它相對于xz平面有角度，相對于yz平面有角度.

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?1.1.8 不重合誤差（Misalignment Error）

不重合誤差是由于安裝時的不完美導致的，造成了慣性傳感器的敏感軸與載體坐標系的正交軸之間的不完全重合而產生的誤差。如下圖所示為敏感軸相對于二維系統的載體坐標軸有小偏角.

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1.2 隨機誤差

慣性傳感器有各種各樣的隨機誤差，通常通過隨機建模可以減少隨機誤差的影響。

1.2.1? 逐次啟動零偏

零偏在每次運行時都發送改變，該零偏變化的最大值稱為逐次啟動零偏。

1.2.2? 隨機游走

每次運行時，零偏隨時間而發生隨機改變，單次運行時，傳感器零偏是不穩定的，稱為隨機游走，如下圖所示。隨機游走是隨機的，引起隨機游走的原因之一是溫度變化。

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1.2.3? ?比例因子不穩定常數

? ? ? ? 單次運行期間比例因子的隨機變化范圍通常是由溫度變化引起的。比例因子在重復運行時也會發生改變，但是特定單次運行時保持為常數，它表征了傳感器的可重復性，也稱為逐次啟動比例因子。

1.2.4? ?白噪聲

? ? ? ? ? ?白噪聲是一個不相關噪聲，均勻分布在所有頻率中，這種類型的噪聲可以有電源引起，但對于半導體器件是固有噪聲，白噪聲示意圖如下。

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1.3 隨機誤差的特點

?陀螺儀的角度隨機漂移通常用°/h/√Hz 或°/h作為單位。加速度計的隨機漂移單位為μg/√Hz 或 m/s/√h。該定義需要確定數據采集系統中的傳感器測量獲得的數據傳輸速率（采用頻率）。數據傳輸速率與傳感器的帶寬有關，這是一個重要參數。慣性傳感器的帶寬（Hz為單位）定義了能夠被傳感器檢測的頻率范圍。比如，100Hz的陀螺儀能夠檢測小于100Hz的運動，任何更高的頻率不會被檢測。基于采樣原理，傳感器必須以最大頻率的2倍頻率解析采樣，上述對應為200Hz.雖然增加數據傳輸速率見擴大帶寬，方便更高的頻率進行動態檢測，但是也更容易引入噪聲。如下所示為常見的KVH陀螺儀的重要性能參數。

2.?傳感器誤差的數學模型

INS的性能可以有兩類傳感器來衡量，分別是陀螺儀和加速度計。

2.1 陀螺儀測量模型

陀螺儀是角速率傳感器，輸出角速率還是姿態取決于是速率陀螺儀還是速率積分陀螺儀。

角速率的測量可由以下方程建模：

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其中：???為三軸陀螺儀帶誤差的測量值（°/h），??為三軸陀螺儀真實角速率（°/h），
是陀螺儀漂移誤差稱為bias（°/h），是一個比例因子矩陣，是陀螺儀非正交矩陣。?是陀螺儀噪聲矢量（°/h）。

偏差矢量、矩陣?及表達式如下：

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?上式中，為定義的陀螺儀三軸不重合度的小角度；為陀螺儀的三軸比例因子。

2.2 加速度計測量模型

加速度計準確度的性能指標與表征陀螺儀的指標很接近，如零偏、比例因子穩定性、隨機噪聲等。比力的測量表達式可由如下方程進行建模：

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其中：???為三軸加速度計帶誤差的測量值，??為三軸加速度計真實比力矢量，
是加速度計零偏矢量稱為bias，線性比例因子誤差矩陣，是非線性比例因子誤差矩陣，是表征加速度計各軸非正交的矩陣。??為不規則重力加速度矢量?（與理論重力加速度的偏差）,?是加速度計噪聲矢量。

偏差矢量、矩陣表達式如下：

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上式中，為定義的加速度計三軸不重合度的小角度；為加速度計的三軸比例因子。

對于這兩個慣性傳感器，比例因子與零偏通常認為是恒定的（在一定的時間范圍內），但在不同的傳感器之間卻是不相關的未知量。原則上，這些誤差可以由校準技術消除。傳感器噪聲由白噪聲、相關噪聲和隨機噪聲等組成，可以由誤差估計算法盡量減小。

2.3 隨機誤差建模

傳感器誤差的非確定性部分是隨機的，可采用隨機模型對其建模。這些誤差常與時間有關，常用的誤差建模方法有隨機游走過程、一階-高斯馬爾可夫過程（GM）、自回歸過程AR等.

一階-高斯馬爾可夫過程通常用來對隨機誤差建模，它的形式如下：

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式中，?為隨機過程對應的變量，?是過程相關時間的倒數,?，??是具有零均值單位方差的不相關高斯白噪聲矢量（協方差非對角為0），是與隨機過程相關的白噪聲矢量.一階-高斯馬爾可夫模型是x的衰減指數（雙側指數分布即laplace分布）自相關序列，示意圖如下

?對上述表達式離散化處理得到：

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一般在組合導航中，采用allan方差中的Bias Instibility 參數和 τ 當作隨機噪聲和反相關時間常數即分別對應參數.

3. 慣性傳感器分類

IMU的成本通常取決于慣性傳感器的類型。IMU是根據它們的具體應用進行分類的，主要依據以°/h為單位的陀螺儀漂移。其性能的第二個衡量指標是陀螺儀的隨機游走和加速度計零偏，陀螺儀隨機游走通常以°/√h為單位。基于性能參數可將IMU分類為四個類別或等級。

4.測量數據的修正

IMU的測量輸出值通常是角速率和比力，而導航解算時通常需增量值，為此可按如下轉化：

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上式中，為比力（加速度計b-frame中的輸出，m/s2），為載體坐標系相對于慣性坐標系的旋轉角速率，在慣性坐標系中求解（即陀螺儀的輸出，rad/s）；為單位采樣時間內比力的變化量（即速度m/s），為單位采樣時間內角速率的變化量（即角度rad），為采樣時間間隔.

采用實驗室校準或數學方法校準后，得到IMU的零偏和比例因子，然后用于原始測量數據的補償：

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上式中，為陀螺儀漂移（bias誤差，rad/s），為陀螺儀比例因子（ppm）,為加速度計零偏（bias誤差，m/s2），為加速度計比例因子（ppm）；為修正后的增量陀螺儀輸出（rad），為為修正后的增量加速度計輸出（m/s）.

5.誤差模型的識別

5.1誤差模型識別方法

對于上述誤差建模涉及到IMU傳感器的相關參數，則誤差模型參數的識別主要由如下方法：

a)Auto-correlation

b)Power spectrum density(PSD)

c)Allan Variance

前兩種方法是通用的分析隨機誤差的方法，第三種方法主要針對慣性器件。慣性器件隨機噪聲方差產生影響的主要局限于低頻段，對上述前兩種主要適用于中高頻率的方法不太適用，一般通過Allan方差分析進行確定和分析。

5.2?allan方差分析過程

對于隨機誤差，利用常規的分析方法，例如計算樣本均值和方差并不能揭示潛在的誤差源，另一方面，雖然自相關函數和功率譜密度函數分別從時域和頻域描述了隨機誤差的統計特性，但是在實際工作中通過這些函數加以分析將隨機誤差分離出來比較困難（源于頻率過低）。

Allan方差法是20世紀60年代由美國國家標準局David Allan提出的，它是一種基于時域的分析方法，不僅可以用來分析光學陀螺的誤差特性，而且還可以應用于其他任何精密測量儀器.

Allan方差法的主要特點是能非常容易對各種誤差源及其對整個噪聲統計特性的貢獻進行細致的表征和辨識，而且便于計算，易于分離。它提供了一種識別并量化存在于數據中的不同噪聲項。

? Allan方差分析主要用于分析陀螺量化噪聲、角度隨機游走噪聲（角速率白噪聲）、零偏不穩定性、角速率隨機游走（角加速度白噪聲）和速率斜坡（角速率常值趨勢項）等五種典型誤差。

allan方差將噪聲從頻域轉換到時域進行分析，因此不用做傅立葉變換，直接通過運算得到時間序列。在GNSS/INS組合導航中，一般需要確定位置、姿態、速度、加速度計零偏和陀螺儀零偏的過程噪聲的譜密度（PSD），也稱為隨機游走噪聲參數。其中位置的過程噪聲已經蘊含在速度中，其譜密度參數可以設置為0或者很小的值。其余譜密度參數由角速度和加速度的觀測值的allan方差對數圖得到。

關于allan方差分析過程噪聲的步驟和方法，具體如下(源于武漢大學慣性導航課件）

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# -*- coding: utf-8 -*- """ Created on Fri Aug 5 13:01:19 2022@author: scott """import os import numpy as np import matplotlib.pyplot as pltdef allan_variance(y0, tau0):# avar(y0, tau0)# 計算Allan方差# 輸入：y -- 數據(一行或列向量), tau0 -- 采樣周期# 輸出：sigma -- Allan方差(量綱單位與輸入y保持一致), tau -- 取樣時間, Err -- 百分比估計誤差passdef main(N = 100000):# sigma, tau, Err = allan_variance(y, 0.1)# sigma, tau, Err = allan_variance(y0, tau0)y0 = np.random.normal(loc=0.0, scale=1.0, size=(N,)) + 0.00001*np.arange(N)tau0 = 0.1N = len(y0)y = y0NL = Ntau = np.zeros(N,)sigma = np.zeros(N,)Err = np.zeros(N,)for k in range(N):sigma[k] = np.sqrt(1/(2*(NL-1))*sum((y[1:NL]-y[0:NL-1])**2))tau[k] = 2**(k-1)*tau0Err[k] = 1/np.sqrt(2*(NL-1))NL = int(np.floor(NL/2))if NL < 3 :breaky = 1/2*(y[0:2*NL:2] + y[1:2*NL:2]) # 分組長度加倍(數據長度減半)plt.figure(figsize=(16,12))plt.subplot(211)plt.plot(tau0*np.arange(N), y0, 'bo')plt.xlabel('$ \\tau /s $',fontsize=14)plt.ylabel("y",fontsize=14)#plt.legend(["allan variance plot"],loc='best',fontsize=16)plt.grid()plt.title('Allan Variance Analysis',fontsize=14)plt.subplot(212)plt.loglog(tau, sigma, 'b+', tau, sigma**(1-Err), 'ro', tau, sigma**(1+Err), 'ro')plt.xlabel('$ \\tau /s $',fontsize=14)plt.ylabel("$\sigma_A(\\tau)$",fontsize=14)plt.legend(["$\sigma_A $","$ \sigma_A-err $", "$ \sigma_A+err $"],loc='best',fontsize=14)plt.grid()plt.title('',fontsize=14)# plt.savefig(f'{path_data}\\variance.png')return tau, sigma, sigma**(1-Err), sigma**(1+Err)if __name__ == "__main__":a,b,c,d = main()

總結

以上是生活随笔為你收集整理的INS/GNSS组合导航（五）惯性器件的主要误差的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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