繼上一篇分析了控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，那么拿到了數(shù)學(xué)模型，通常怎樣進(jìn)行分析？本文以及后續(xù)兩章將分別講述經(jīng)典控制理論中的三種分析、 研究和設(shè)計控制系統(tǒng)的方法。

這篇文章本質(zhì)上都是時域分析的內(nèi)容，知道什么是時域分析，怎樣時域分析，分析的內(nèi)容有哪些

一：什么是時域分析法？

直接解出時間響應(yīng)曲線：時域分析法是根據(jù)系統(tǒng)的微分方程， 以拉普拉斯變換作為數(shù)學(xué)工具， 直接解出控制系統(tǒng)的時間響應(yīng)。 然后， 依據(jù)響應(yīng)的表達(dá)式以及其時間響應(yīng)曲線來分析系統(tǒng)的控制性能， 諸如穩(wěn)定性、 快速性、平穩(wěn)性、 準(zhǔn)確性等， 并找出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、 參數(shù)與這些性能之間的關(guān)系。

1.什么是典型初始狀態(tài):

規(guī)定控制系統(tǒng)的初始狀態(tài)均為零狀態(tài)，即在t=0-時

說明在外作用添加進(jìn)系統(tǒng)前，系統(tǒng)是相對靜止的，被控量以及各階導(dǎo)數(shù)增量為0.

2.什么是典型外作用：

典型外作用是眾多而復(fù)雜的實際外作用的一種近似和抽象。 它的選擇不僅應(yīng)使數(shù)學(xué)運算簡單， 而且還應(yīng)便于用實驗來驗證。比如單位階躍、單位斜坡、單位脈沖、正弦。

3.什么是時間響應(yīng)：

初始狀態(tài)為零的系統(tǒng)， 在典型外作用下的輸出， 稱為典型時間響應(yīng)。 從數(shù)學(xué)角度來理解， 典型時間響應(yīng)就是描述控制系統(tǒng)的微分方程在典型外作用下的零初始條件解。

4.有哪些性能指標(biāo)：

控制系統(tǒng)的時間響應(yīng)， 從時間順序上， 可以劃分為過渡過程和穩(wěn)態(tài)過程。通常對階躍響應(yīng)的研究比較多，一般認(rèn)為， 跟蹤和復(fù)現(xiàn)階躍作用對系統(tǒng)來說是較為嚴(yán)格的工作條件，跟蹤階躍信號能夠體現(xiàn)出系統(tǒng)工作的性能優(yōu)劣。

包括延遲時間、上升時間、峰值時間、超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間、穩(wěn)態(tài)誤差，后三項反映了系統(tǒng)的平穩(wěn)性、快速性、穩(wěn)態(tài)精度。具體公式可參考書中內(nèi)容。

二：怎樣進(jìn)行時域分析

這里對常見的低階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)進(jìn)行了分析，能夠看到具體的分析流程與方法。

1.一階系統(tǒng)：

假設(shè)一個一般性的一階系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型為：

一階系統(tǒng)中只有一個參數(shù)T（時間常數(shù)）也稱為慣性環(huán)節(jié)，所以我們研究改變T會如何影響系統(tǒng)的輸出c（t）。

解出時間響應(yīng)

所以得到了輸出與參數(shù)T的關(guān)系，那么我們就可以分析出不同T對輸出的影響，利用實驗繪圖得到階躍響應(yīng)曲線。實驗結(jié)論就是：一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)沒有超調(diào)量， 所以其性能指標(biāo)主要是調(diào)節(jié)時間ts。

由于t=3T時，輸出響應(yīng)可達(dá)穩(wěn)態(tài)值的95% ，t=4T時， 輸出響應(yīng)可達(dá)穩(wěn)態(tài)值的 98%。而且是沒有穩(wěn)態(tài)誤差的。

2.二階系統(tǒng)：

二階系統(tǒng)很具有代表性，研究對二階系統(tǒng)的分析方法十分重要。實際系統(tǒng)中有許多都是二階系統(tǒng)， 例如RLC網(wǎng)絡(luò)，具有質(zhì)量的物體的運動，忽略電樞電感后的電動機(jī)。 尤其值得注意的是，許多高階系統(tǒng)，在一定的條件下，常常作為二階系統(tǒng)來研究（降階）。所以，詳細(xì)討論和分析二階系統(tǒng)的特性， 有著十分重要的實際意義。

二階系統(tǒng)的模型

根據(jù)實際系統(tǒng)所求的傳遞函數(shù)模型滿足3-17這個形式，可以看到主要有兩個參數(shù)在起作用。我們要根據(jù)微分方程直接求解出時間響應(yīng)的解，以階躍響應(yīng)為例。講述之前這里插一條

# 特征根和系統(tǒng)的性能有什么關(guān)系？為什么要分析特征方程?

系統(tǒng)極點就是特征方程的根。而微分方程的時域解其實就是由特征根構(gòu)成的形式。

1。從傳遞函數(shù)是怎么得到時域解的? =>直接進(jìn)行拉氏反變換

2。那么為什么要先得到傳遞函數(shù)再求解？=>先到頻域后到時域

實際上是因為我們做了兩步變換：先將微分方程轉(zhuǎn)化為頻域上的傳遞函數(shù)，推倒出系統(tǒng)輸出c（s）的頻域表達(dá)式，再通過拉氏反變換把頻域變換到時域c（t）上，變換完就是系統(tǒng)微分方程在時域上的輸出解。

本質(zhì)上就是先轉(zhuǎn)換到在頻域解方程，再換到時域得到解。這其實就是上述解微分方程的一種具體解法。

所以下面我們來看看微分方程是怎么解的：根據(jù)微分方程計算出傳遞函數(shù)這一步就是在做拉氏變換，具體過程就是數(shù)學(xué)問題了。這是二階的傳遞函數(shù)，注意它的分母（特征方程）

我們要的是輸出的表達(dá)式，所以就寫出C（s）的表達(dá)式

然后這就是輸出了，目的是什么？得到輸出的時域解，那就對他再進(jìn)行拉氏反變換。怎么反變換？這里就和特征方程有關(guān)了。要做拉氏反變換，我們就要根據(jù)反變換的公式，換成基本形式相加，這就需要對這個式子進(jìn)行裂項。裂項需要進(jìn)行因式分解，那這個過程是不是就要求出特征方程的根了？問題解決。

換成基本形式相加

二階系統(tǒng)的輸出表達(dá)式

那么二階系統(tǒng)的特征方程:

得到二階系統(tǒng)的解的一般形式

所以，特征根會影響系統(tǒng)的階躍時間響應(yīng)函數(shù)，因為它存在于指數(shù)項里。特征根中有兩個關(guān)鍵參數(shù)ξ和ωn ，所以這兩個參數(shù)會影響特征根的形式，所以這兩個參數(shù)最終將影響系統(tǒng)性能。

具體是怎么影響的?

• 當(dāng)阻尼比ξ>1時， 二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程有兩個不相等的負(fù)實根，為過阻尼二階系統(tǒng)。過阻尼二階系統(tǒng)可以看成兩個時間常數(shù)不同的慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)，因此是沒有穩(wěn)態(tài)誤差的。
• 當(dāng)阻尼比0<ξ<1時， 稱為欠阻尼二階系統(tǒng)，閉環(huán)特征方程具有一對實部為負(fù)的共軛復(fù)特征根， 時間響應(yīng)呈衰減振蕩特性， 故又稱為振蕩環(huán)節(jié)，參考性能指標(biāo)部分的圖3-3。

具體表達(dá)式不再列寫了，可參考書上內(nèi)容。這里我們知道這兩個參數(shù)與性能之間有著怎樣的關(guān)系就可以了。

如何改善一、二階系統(tǒng)響應(yīng)措施？：

一階系統(tǒng)實際上只有一個結(jié)構(gòu)參數(shù)T，比如想提高快速性就減小T。而二階系統(tǒng)復(fù)雜一些，主要是阻尼比，想改變阻尼比一般是輸出的速度反饋或者是串聯(lián)一個比例微分。關(guān)于微分要重點說一下，為什么微分能夠提高系統(tǒng)阻尼比呢?它能夠在實際超調(diào)量出現(xiàn)之前就能產(chǎn)生修正作用。

比例微分控制使系統(tǒng)的等效阻尼增大，和速度反饋控制是同樣的效果，但是這又屬于兩種不同的校正方法，一個是串聯(lián)校正，后者則是反饋校正，校正后的傳遞函數(shù)也不同，串聯(lián)校正結(jié)構(gòu)簡單，但是沒有反饋控制抗干擾能力差，速度反饋本手就可以抑制干擾與非線性因素，但是會降低開環(huán)增益，而且需要引入測量裝置增大了成本。但反饋的存在大大削弱了非線性因素，并且主要性能是由反饋回路的傳函決定，能抑制輸入干擾，得到廣泛應(yīng)用。

再從根軌跡角度分析，串聯(lián)一個比例微分環(huán)節(jié)相當(dāng)于給開環(huán)傳函加了一個零點，也使得閉環(huán)系統(tǒng)多了一個零點，這樣直接改變了系統(tǒng)的根軌跡，影響性能較多。而速度反饋并沒有給閉環(huán)系統(tǒng)引入新的零點。

三：時域分析的內(nèi)容？

括延遲時間、上升時間、峰值時間、超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間、穩(wěn)態(tài)誤差，后三項反映了系統(tǒng)的平穩(wěn)性、快速性、穩(wěn)態(tài)精度。這里重點講一下穩(wěn)

1.穩(wěn)定性：

關(guān)于穩(wěn)定性之前有專門寫過一篇總結(jié)，但并不深入。

小學(xué)徒：動態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析?zhuanlan.zhihu.com

這本書里詳細(xì)講的是經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性方法，在傳遞函數(shù)基礎(chǔ)上詳細(xì)討論了特征根與穩(wěn)定性之間的關(guān)系。其原理仍然是解出時域解進(jìn)行分析，得到的結(jié)論是：系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅取決于特征根的性質(zhì)。 并可得出，穩(wěn)定的充分必要條件為系統(tǒng)特征方程的所有根都具有負(fù)實部，或者說都位于s平面的虛軸之左。

根據(jù)上面所說的，我們只要通過解系統(tǒng)的特征根就能知道穩(wěn)定性，那么如果是高階系統(tǒng)并且難以解出特征根怎么辦？如果能夠不解特征方程也能知道根是否位于左半平面，就可以更方便了。這才有了從特征根的性質(zhì)衍生出來的一些穩(wěn)定性判據(jù)，包括Hurwitz、勞斯判據(jù)等。

Hurwitz：系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為特征方程的赫爾維茨行列式全部為正。但是計算行列式仍然比較麻煩。

林納德奇帕特判據(jù):這是對hurwitz的推廣，減少行列式計算的工作量。1）特征方程的各項系數(shù)都大于零 這是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，如果不滿足 肯定不穩(wěn)定。但是滿足了不一定穩(wěn)定。 2）奇數(shù)階或偶數(shù)階的赫爾維茨行列式大于0，只有同時滿足這兩個條件才能判定穩(wěn)定。

#這種方法不僅可以判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還可以決定增益K的范圍，這就是為什么我增益過大可能導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定的原因，因為K會影響系統(tǒng)的特征根（PID中比例環(huán)節(jié)過大會發(fā)散）

勞斯判據(jù)：雖然上面的方法簡化了計算，但是我還是避免不了算行列式，如果是更復(fù)雜的系統(tǒng)特征方程，怎么辦?可不可以不算行列式也能知道特征根的特性？可以，勞斯判據(jù)只需要你畫一張勞斯表。這是一種根據(jù)特征方程來判斷系統(tǒng)極點的位置的方法，從而避免了求解特征根，簡化了計算。勞斯判據(jù)不僅可以判斷穩(wěn)定性，還能判定有幾個正實部根。

總結(jié):這幾個判據(jù)可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性并且能夠確定增益的范圍，但是不能判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。如果系統(tǒng)的一個負(fù)實部根離虛軸很近，那也是滿足穩(wěn)定性判據(jù)的，這種情況在實際系統(tǒng)中仍然可能是不穩(wěn)定的，而我也確實遇到過這種問題。系統(tǒng)極點的確在左半平面，但是離虛軸很近。按道理也是穩(wěn)定。然而仿真結(jié)果卻發(fā)散了，這是因為完全理想的系統(tǒng)是不存在的。我也查了一些實際情況中可能會影響穩(wěn)定性因素，最典型的就是：延遲。這個東西非常的可怕，它甚至?xí)苯痈淖兿到y(tǒng)根軌跡的走向引向右半平面。所以這也是我們要求有一定的穩(wěn)定裕度的原因，光穩(wěn)定不夠，還要留出裕度，這樣才會有更強(qiáng)的魯棒性。

那么勞斯判據(jù)怎么保證系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定裕度？可以用s1=s+a代替s重新計算，這樣解出來的K是符合條件的。但是有的系統(tǒng)你不管怎么調(diào)K，它都不穩(wěn)定。這種稱為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)，這種情況我們就需要改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)來解決了。比如積分環(huán)節(jié)過多，它會直接給系統(tǒng)帶來虛軸上的極點。改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的一般方法是通過增加特定的環(huán)節(jié)與校正前傳函進(jìn)行比較，看看有哪些變化，是阻尼大了？還是添加了新的零極點？最常見的改變結(jié)構(gòu)的方法就是反饋。狀態(tài)反饋能夠任意配置極點也是這個道理，根據(jù)這種方法得到的一些經(jīng)驗有：引入PD控制，速度反饋等，如果積分環(huán)節(jié)過多，我們就想辦法破壞，比如反饋一個比例環(huán)節(jié)變成慣性環(huán)節(jié)，但是破壞了積分環(huán)節(jié)的同時卻帶來了其他的影響比如穩(wěn)態(tài)精度下降等，這就是校正問題之間的矛盾，后面介紹。

2. 穩(wěn)態(tài)誤差

控制系統(tǒng)中的穩(wěn)態(tài)誤差， 是系統(tǒng)控制精度的一種度量。 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、 參數(shù)以及外作用的形式密切相關(guān)。穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值稱為穩(wěn)態(tài)誤差

穩(wěn)態(tài)誤差

至于書上為什么會引出中值定理，是因為用拉普拉斯變換的終值定理計算穩(wěn)態(tài)誤差比求解系統(tǒng)的誤差響應(yīng)e（t）要簡單得多。中值定理等具體的理論公式就不細(xì)講了可參考書上內(nèi)容。

這篇文章本質(zhì)上都是時域分析的內(nèi)容，要知道什么是時域分析，怎樣時域分析，分析的內(nèi)容有哪些

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的一阶电路误差分析_自动控制（3）时域分析的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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