Contest Design with Threshold Objectives 論文閱讀筆記

• • • 一、基本信息
    • 二、文章摘要
    • 三、核心模型
    • • 3.1 Rank-Order Allocation Contests
      • 3.2 General Contests
      • 3.3 Objective Functions
    • 四、分析過程
    • 五、本文總結

一、基本信息

• 題目：帶有門限目標函數的競賽設計
• 作者：Edith Elkind、Abheek Ghosh、Paul W. Goldberg

二、文章摘要

• 以下內容取自原文摘要部分：
• 我們研究的是一種競賽，該種競賽的目標函數是在已經廣泛研究的目標函數——最大化輸出的基礎上拓展的，并且當參賽者的輸出水平非常低或者非常高時設計者的邊際效用為0。我們考慮兩種變體，換言之兩種目標函數：二進制門限值（超過門限值對設計者產生1的效用，反之產生0的效用）、線性門限值（在兩個門限值之間產生效用與輸出成線性關系，其他情況下為常數）。對于這兩種目標函數，我們分別研究兩種競賽：rank-order allocation contest（獎項分配只基于參賽者的排名）以及general contest（使用參賽者輸出的數字值去分配獎項）。我們分析研究最優化競賽的性質，并且指出一些有效計算均衡的技巧。我們也證明了在一定情況下，對于線性門限值目標函數，某種ranl-order allocation contest可以接近于最優ranl-order allocation contest。
• 我的總結：本文的核心貢獻在于，針對競賽設計者提出了兩種不同的目標函數，并且將兩種目標函數分別在Rank-Order Allocation Contest和General Contest的設置下研究其最優競賽性質。

三、核心模型

• 基礎設定：共有$n$位參賽者。$v=(v_1,v_2,...,v_n)$是參賽者的能力組合，$v_i$獨立產生于分布$F$，并且該分布的概率密度函數（PDF）記為$f$。參賽者同時產生輸出$b=(b_1,b_2,...,b_n)$。接下來模型的細節將會分兩類敘述。

3.1 Rank-Order Allocation Contests

• 競賽有$n$個價值遞減的獎項$w=(w_1,w_2,...,w_n),1\ge w_1\ge w_2...\ge w_n\ge 0$（對于unit-sum模型來說，額外要求${\sum }_j{w}_j\le 1$）。參賽者根據其輸出的排名順序獲得相應獎項。擁有最高輸出的參賽者獲得$w_1$，擁有第二高輸出的參賽者獲得$w_2$，以此類推。
• 具體來說，參賽者犧牲代價cost，結合自身type產生output參與排名。即output=cost*type。因此效用函數可以表示如下。其中$P_{ij}$表示參賽者$i$獲得第$j$個獎項的概率。為了簡化形式，式子兩邊同乘$v_i$得到下式。
  $$\begin{gathered} u(v_i,b)=\sum _{j\in [n]}{w}_j{P}_{ij}?\frac{b_i}{v_i} \\ u(v_i,b)=v_i\sum _{j\in [n]}{w}_j{P}_{ij}?b_i \\ {P}_{ij}=\frac{\bar{1}\{b_i=b_{ij}\}}{|\{k|b_k=b_{ij}\}|} \end{gathered}$$
• 我們令$p_j(v)$表示值$v$在分布$F$下獨立取樣是第$j$高的概率，形式化表述如下。（解釋一下，$F(v)$表示獨立取樣值小于等于$v$的概率，那么值$v$是第$j$個大，就有$j?1$個大于$v$，其余小于$v$，由此而得）$n$個獨立同分布抽樣獲得第$j$高的統計結果的概率密度函數如下。
  $$\begin{gathered} p_j(v)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n?1}{j?1}\right)F(v{)}^{n?j}(1?F(v){)}^{j?1} \\ {f}_{n,j}(v)=\frac{n!}{(j?1)!(n?j)!}F(v{)}^{n?j}(1?F(v){)}^{j?1}f(v) \end{gathered}$$
• 定理1表明：在上述環境設定下，唯一的貝葉斯納什均衡由下式定義。（決策在于，輸入類型，輸出最優的輸出值（output）。也就是說結合自身類型，選定最優代價，產生最優輸出值。）
  $$\beta (v)=\sum _{j\in [n]}{w}_j{\int }_0^{v}t{p}_j^{\prime }(t)dt$$
• 何為簡單競賽（Simple Contest）？如果存在一個$j$，使得排名前$j$個參賽者每人被分配一個相等的正值獎項，其余參與者獲得$0$獎勵。

3.2 General Contests

• $x_i(v)$表示在接受能力組合$v$后，參賽者$i$獲得的期望獎項價值。無論是unit-range/unit sum，都要求$0\le x_i(v)\le 1$，另外對于unit-sum還要求${\sum }_i{x}_i(v)\le 1$。因此相比之下，unit-range更加簡單，因為其可以獨立優化每位參賽者的決策。
• 分配規則$x(v)=(x_1(v),...,x_n(v))$，假設分配規則是對稱的，也就是說相同輸出不同參與者對應的期望收益是相等的。期望分配函數設計為$\xi (v)=E[x_i(v)|v_i=v]$。貝葉斯納什均衡下的輸出函數為：
  $$\beta (v)=v\xi (v)?{\int }_o^v\xi (t)dt$$
• 定理2：任何非減的期望分配函數$\xi$滿足下式，是可以被某些滿足unit-sum約束的分配函數$x$所實現的。
  $${\int }_V^1\xi (v)f(v)dv\le \frac{1?F(V{)}^n}{n}$$

3.3 Objective Functions

• 接下來形式化定義兩種目標函數，分別是二進制門限目標函數（binary threshold）以及線性門限目標函數（linear threshold）

• Binary Threshold Objective
  二進制門限目標函數的意思是，如果輸出值大于$B$那么其對于競賽設計者產生的效用為1，如果輸出值小于$B$那么其對于競賽設計者產生的效用為0。
  

• Linear Threshold Objective
  線性門限值目標函數的含義是，在$B_L$與$B_H$之間的輸出值與所產生的效應之間存在著線性關系。
  

四、分析過程

• 細節較多…

五、本文總結

• （future work）本文中，我們關注于兩個自然且實用的競賽設計者的目標函數，并且我們為這兩種目標函數都設計了最優競賽。一個有趣的開放問題是，一個沒有既定輸出的競賽，或者說一個rank-order allocation contest，可以多大程度上接近于general contest的最優程度。另外一個該工作的拓展是研究其他實際的競賽設計者的目標函數，單調轉換形式與本文研究的門限轉化形式不同。結合本文對于設計者目標函數的研究以及非線性效用、代價函數也是一個有趣的研究方向。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Contest Design with Threshold Objectives（博弈论+机制设计） 论文阅读笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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