密碼學算法——RSA

• RSA算法
• • RSA算法由來
  • RSA算法關鍵細節
  • • RSA公私鑰計算細節
    • RSA加密細節
    • RSA解密細節
  • RSA算法安全瓶頸
  • RSA算法的乘法同態特性

RSA算法

RSA第一次在R.L. Rivest，A. Shamir和L. Adleman的1978年的論文《A method for obtaining digital signatures and public key cryptosystems》中，作為一種新的數字簽名和公鑰密碼學算法提出，RSA分別取三位作者姓氏首字母組成。

形象解釋可參看：如何深入淺出地講解RSA密碼？

RSA算法由來

RSA算法是非對稱加密算法中的重要組成成員之一，其主要安全壁壘在于兩個大素數乘積的因式分解難度。

RSA算法關鍵細節

RSA公私鑰計算細節

RSA算法的關鍵流程為：
1）p,q：任意的兩個素數（保密，不對外泄露）
2）n：=pq（對外已知，與e一起組成公鑰）
3）d：1~n-1之間的隨機數（僅對密鑰所有者已知，實際即為私鑰）
4）e：滿足de≡1(mod (p-1)*(q-1)) （對外已知，與n一起組成公鑰）
RSA非對稱加密算法中的公鑰為(e,n)，私鑰為d。其中的素數p和q應對任何人均不可知。

RSA加密細節

通過公鑰(e,n)對消息m（m值的范圍為0~n-1）進行加密，
加密后的消息c（c值的范圍為0~n-1）為：
c=E(m):=(m^e)%n

RSA解密細節

通過私鑰對密文c進行解密：
D( c):=(c^d)%n
具體解密實現的數學依據為：
∵ c^d ≡ (m^e%n)^d ≡ m^ed(mod n)
∵ de ≡ 1(mod (p-1)(q-1))
∴ m^ed(mod n) ≡ m(mod n)
∵ c值的范圍為0~n-1
∵ m值的范圍為0~n-1
∴ D( c) = m
通過私鑰d對密文c進行解密可成功獲取相應的明文m。

RSA算法安全瓶頸

RSA算法的安全性依賴于n的因式分解難度，使得根據公鑰e無法計算破解得到私鑰d，若n易于因式分解，則可知p和q，由e獲取私鑰d則很容易，整個RSA算法的安全性將無法保證。

RSA算法的乘法同態特性

RSA加密算法具有的乘法同態特性，依賴于其E加密算法數學特征：
E(x)E(y) ≡ x^ey^e ≡ (xy)^e ≡ E(xy)
這種同態特性可在零知識證明中發揮作用，即無需暴露x和y的具體值，prover證明者僅通過發送加密的信息a=E(x)、b=E(y)和c=E(xy)，verifier驗證者僅需驗證確認(a*b)%n ≡ c%n成立，即可說明prover發送的是兩個數值及其相應乘積。

參考資料：
[1] 1978年論文《A Method for Obtaining Digital Signatures and Public-Key Cryptosystems》

總結

以上是生活随笔為你收集整理的密码学算法——RSA的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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