用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來表示有限元函數(shù)

今天，我想分享的東西是許進超老師的一篇文章，ReLU Deep Neural Networks and Linear Finite Elements。你可以理解為，這是一篇譯文。

主要內(nèi)容

它主要是關(guān)于神經(jīng)元數(shù)與層數(shù)，在用DNN表示線性有限元的時候。它告訴我們，當(dāng)維數(shù)大等于2的時候，我們至少需要兩個隱藏層，在用ReLu DNN表示線性有限元函數(shù)的時候。因為在其它的文獻(xiàn)中，$?{\text{log}}_2(d+1)?$at most被介紹了，當(dāng)用ReLu DNN表示分片線性函數(shù)的時候。所以，當(dāng)d大等于2時，2層是必要且充分的，也就是說它是最優(yōu)的（optimal）。

另一方面，文章也給了我們一個估計，關(guān)于神經(jīng)元的數(shù)目that are need。

再一個，作者介紹了low bit-width的DNN模型，思想來自于用DNN去表示分片線性函數(shù)的特殊結(jié)構(gòu)。

最后，作者以一維的兩點邊值問題，做了一個數(shù)值實驗。

簡介

近年來，為什么DNN模型能work得這么好，依然是不清楚的。為了弄清楚它，我們可以研究DNN所表示的函數(shù)類的逼近屬性（approximation properties）和表達(dá)能力（expressive power）。

萬有逼近定理（Universal Approximation Theory）告訴我們，任何單隱層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠逼近任何連續(xù)函數(shù)。萬有逼近定理見如下文章：

M. Leshno, V.Y. Lin, A. Pinkus and S. Schocken, Multilayer feedforward networks with a nonpolynomial activation function can approximate any function,Neural networks, 6(1993), 861-867.

另外，我們可以看到下面一個陳述是正確的：

Every ReLU DNN function in $R^d$ represents a continuous piecewise linear (CPWL) function dened on a number of polyhedral subdomains.

近年來，上述statement相反（converse）的論述也被證明是正確的。

更近一步，關(guān)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)去表示分片線性函數(shù)的一個層數(shù)的論述，被證明了，如下：

Every CPWL function in $R^d$ can be represented by a ReLU DNN model with at most $?{\text{log}}_2(d+1)?$ hidden layers.

有了這些考慮，作者想要知道的就是：

• How many numbers of neurons are needed?
• What is the minimal number of layers that are needed?

結(jié)論是，我們需要用$O(d{2}^{mm!})$數(shù)目的神經(jīng)元去表示CPWL（continual piecewise linear），m表示子區(qū)域的數(shù)目。

進一步，為了得到更少數(shù)目的DNN表示，作者在文章中考慮了更特殊的一類函數(shù)，叫做LFE（Linear Finit Element）。

因為LFE是節(jié)點基函數(shù)（nodal basis funciotns）的一個線性組合，所以我們只需要研究節(jié)點基函數(shù)的DNN表示。

最后，作者證明了LFE能用$O(d{\kappa }^{d}N)$數(shù)目的神經(jīng)元表示，用$O(d)$層的一個網(wǎng)絡(luò)，這里的$\kappa$取決于網(wǎng)格的正則性。

另外一個問題，多少層呢？對于LFE而言，2 at least當(dāng)維數(shù)大于2時，$?{\text{log}}_2(d+1)?$at most，那么，其實d=2,3時，$?{\text{log}}_2(d+1)?$層就是最優(yōu)的。當(dāng)d更大是，是否是最優(yōu)的，仍然是一個開放的問題。

到底CPWL和LFE的區(qū)別是什么呢？剖分是否確定？不是，只不過是用兩種不同的角度看問題，得到的不同的網(wǎng)絡(luò)而已，它們的神經(jīng)元個數(shù)和層數(shù)是不同的。

作者還介紹了heavily quantized weights去壓縮神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，比如binary和ternary權(quán)重模型。

最后，一個數(shù)值例子表明，使用 ReLU DNN 的Galerkin方法比適應(yīng)性有限元方法逼近結(jié)果要好。

一個普通標(biāo)題CPWLLFELFE(regularity)

神經(jīng)元數(shù)目	$O(d{2}^{mm!})$	$O(k_{h}N)$	$O(d{\kappa }^{d}N)$
層數(shù)	2 at least($d\ge 2$,LFE),${\text{log}}_2(d+1)$at most	$?{\text{log}}_2{k}_h?+1$	$O(d)$

ReLU DNN的基本性質(zhì)

首先，我們需要介紹一些記號。

我們把$\Theta$定義為：

定義作用于向量的激活函數(shù)$\sigma$為:

那么，給定$d,c,k\in {\mathbb{N}}^{+}$，并且：

那么，一般的從${\mathbb{R}}^d$到${\mathbb{R}}^c$可以寫為：

這里我們假定$f^0(x)=\Theta (x)$。更簡單地，我們可以寫為：

這里的${\Theta }^i$是表示第i層到第i+1層的。一般我們稱這樣的DNN為k+1層DNN，或者說有k個隱藏層。

ReLU（rectified linear unit）的定義如下：

容易看到ReLU函數(shù)是CPWL的，自然它們的線性組合也是CPWL的。那么，我們會有如下一個引理：

我們把J個隱藏層且輸出為一個變量的ReLu DNN，用一個記號來表示，即：

首先，讓我們來看一下$DN{N}_1$，也就是有一個隱藏層的ReLu DNN，也就是：

這里的上標(biāo)m表示隱藏層神經(jīng)元的數(shù)目。

restrict $DN{N}_1^m$在$\Omega$，我們用如下的記號：

一些文獻(xiàn)已經(jīng)證明了，$DN{N}_1(\Omega )$在$C^0(\Omega )$上是稠密的（dense）。

當(dāng)然，關(guān)于ReLu DNN，我們還有一個漸近（asymptotic）誤差估計：

這里的hat是表示傅里葉變換。

另外，我們還有一個定理：

LFE的ReLu DNN表示

我們知道，CPWL能被ReLu DNN表示出來。線性有限元函數(shù)（Linear Finite Element Function，LFE）是一類特殊的CPWL。它也能被ReLu DNN表示出來。

為了說明這一點，我們先回顧一下有限元方法的相關(guān)知識，以及引入我們的符號。

有限元網(wǎng)格$T_h=\{{\tau }_k\}$，節(jié)點表示為$N_h$，那么分片線性函數(shù)空間可以寫為：

節(jié)點基函數(shù)（nodal basis function）為：

對任何$v\in V_h$，我們有：

用$N_i$表示與i節(jié)點有關(guān)的單元的標(biāo)號，即：

我們用$k_h$表示和節(jié)點有關(guān)的單元數(shù)目的最大值（maximum），也就是：

第i個節(jié)點的支集表示為：

我們說$T_h$是局部凸（locally convex），如果每個支集是凸的。

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下面我們來看看局部凸網(wǎng)格的LFE的ReLU DNN表示。

因為分片線性函數(shù)可以用節(jié)點基函數(shù)線性表出，所以我們我們只需要研究節(jié)點基函數(shù)的ReLU DNN表出。

一維情況下，我們有：

對于多維的情況，我們先介紹一個引理：

這里的$g_k$是節(jié)點基函數(shù)的不同“片”，在整個定義域上的一個延伸。把它們?nèi)€最小，就得到了節(jié)點基函數(shù)。這個證明有點繁瑣（Tedious）。讓我們skip it。

關(guān)于這個引理有個remark：

下面我們介紹一個重要的定理：

證明如下：

我們可以將取最小值寫成單隱藏層ReLU NN，如下：

我可以check it，雖然我不知道是怎么想到它的。其實，這是一個單隱層的ReLU DNN。兩個到四個，再到一個。

根據(jù)之前那個引理，我們有：

為了方便，我們把$N(i)$寫為：

那么，我們有：

我們可以對split出來的兩項繼續(xù)做劃分，直到最后為1項或者2項。然后，我們利用：

根據(jù)以上的過程，我們知道，我們可以將基函數(shù)寫成$?{\text{log}}_2{k}_h?+1$個隱藏層的DNN。WHY + 1？每一次劃分不應(yīng)該加兩層嗎？

考慮二叉樹的結(jié)構(gòu)，k層的二叉樹總共有$2^k?1$個節(jié)點，那么神經(jīng)元的個數(shù)大概（至多）為：

根據(jù)CWPL和節(jié)點基函數(shù)的表出關(guān)系，我們能得到分片線性函數(shù)能用$?{\text{log}}_2{k}_h?+1$的隱藏層表出。神經(jīng)元的數(shù)目最多為$O(k_{h}N)$。

我們現(xiàn)在考慮一類所謂的形狀規(guī)則的有限元網(wǎng)格，滿足：

那么，我們有如下推論：

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DNN方法的一個誤差估計，考慮$DN{N}_1$，有如下結(jié)論：

事實上，后面會提到，單隱層的DNN是沒有辦法表示線性有限元函數(shù)的。

我們可以找到一個DNN的結(jié)構(gòu)，使得用其去逼近有限元函數(shù)的結(jié)果更好：

維數(shù)大于1時，單隱層ReLU DNN無法表示LFE

淺層的ReLU DNN是無法精確地表示某些有限元函數(shù)的，精確描述如下：

這個證明啊，really a trifle。作者用了三頁紙來完成這個證明。我這里就不提了。

這也是這篇文章的一個主要結(jié)果之一。

一般CPWL的ReLU DNN逼近（approach）

一般的方法，相比于前面提到的逼近方法，需要更少的層數(shù)，但是需要多得多（significantly，extremely）的神經(jīng)元。

下面先不帶證明地列出一些主要的結(jié)果：

這里的$f_i$是分片線性函數(shù)在片${\Omega }_i$上的值。

我們也有l(wèi)attice表示定理，如下：

進一步，我們有這樣一個結(jié)果：

這個定理告訴我們，我們可以用不超過${\text{log}}_2?d+1?$的隱藏層去表示它。

這個結(jié)果和前面的LFE的表示結(jié)果相比起來，雖然需要的層數(shù)降低了一些，但是需要的神經(jīng)元多了非常多。

至此，對于一個局部凸的有限元網(wǎng)格，我們現(xiàn)在又兩種不同的方式來表示它。

我們用這種表示CPWL的一般方式來表示FEL，有如下的一個結(jié)果：

由此，我們就可以比較出兩個網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)來表示分片線性函數(shù)的一個差異，一個需要$?{\text{log}}_2(d+1)?$隱層$O(d{2}^{(d+1)k_h})$的神經(jīng)元，一個需要$?{\text{log}}_2{k}_h?+1$隱層$O(k_{h}N)$的神經(jīng)元。前者雖然層數(shù)少，但是需要多得多的神經(jīng)元。

低位寬的DNN模型

這部分介紹了一種特殊的ReLU DNN模型，它能表示所有的CPWL函數(shù)。它的參數(shù)要么是0，要么是2的次方，也就是說：

By our results in previous sections, we find a special family of ReLU DNN which has at most one general layers and all other layers with low bit-width parameters.

不加證明，我們有如下結(jié)果：

數(shù)值算例

DNN方法求解PDE，考慮如下模型問題：

一般使用DNN求解PDE用的是配點方法，也就是一個最小二乘問題：

這里的$u_N$是DNN的輸出，使用平滑的激活函數(shù)，比如說sigmoid函數(shù)。

當(dāng)然，還有一些其他的方法。

有限元方法一般采用適應(yīng)有限元方法和移動網(wǎng)格方法。

適應(yīng)網(wǎng)格方法有如下的誤差估計：

DNN方法一般不需要網(wǎng)格，但是也需要離散點。DNN-Galerkin方法連點都不需要。

單隱層DNN的誤差估計如下所示：

這里$\hat{u}$是將函數(shù)延拓到整個（entire）區(qū)間上后做的傅里葉變換。

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我們來做一個一維的兩點邊值問題的例子。考慮如下模型問題：

剖分網(wǎng)格如下：

定義單隱層ReLU DNN為：

這里的${\theta }_i$表示區(qū)間$[t_{i?1},t_i]$上的斜率。

為了滿足邊界條件，我們需要有約束（上標(biāo)到N，文中寫錯了）：

我們最小化能量函數(shù)：

交替以下兩個步驟：

結(jié)論

足夠多層的ReLU DNN是可以重構(gòu)有限元函數(shù)的，文中討論了兩種不同的逼近方式。

One theoretically interesting question addressed in this paper concerns the minimal number of layers that are needed in a DNN model to reproduce general continuous piecewise linear functions.

作者證明了維數(shù)大于1是，最小需要兩個隱藏層來表示分片函數(shù)，由于上限${\text{log}}_2(d+1)$的約束，二三維的時候，${\text{log}}_2(d+1)$就是最優(yōu)的，更高維的時候，是否是最優(yōu)的，還不知道。

不說消耗的事情，一維例子表明DNN的Galerkin逼近是比適應(yīng)有限元方法是更精確的。但是呢，computational cost is a serious issue。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的神经网络和有限元方法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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