我們先看Shreve給出的布朗運動的定義

簡單來說布朗運動就是一個“無記憶”的隨機過程。每次的增量服從正態分布，這個增量與之前的路徑無關，增量的variance等于這個增量對應時間差（$Var[W(t+\Delta t)?W(t)]=\Delta t$).

現在我們考慮更為復雜的隨機過程。在微積分中，我們會有微分的概念$dx=f^{\prime }(t)dt(x=f(t),dt=t+dt?t)$. 如果我們簡單的有$dx=\mu dt,x(0)=0$, 我們就可以推出$x(t)=\mu t$. 我們現在運用剛學的布朗運動，在原有的微分的基礎上加入隨機擾動 $dW=W(t+dt)?W(t)$. 用我們剛學得關于布朗運動的性質，這個隨機繞動 $dW$ 就是一個均值為0，variance為 $dt$ 的正態隨機量。在微分中加入隨機擾動 $\sigma dW$, 這樣我們得到 $dx=\mu dt+\sigma dW$. 此時 $x(t)$ 就不在是一個確定的函數而變成了一個隨機變量。我們可以類似的求得$x(t)=\mu t+\sigma W(t)$.

現在我們來看一個略微復雜的隨機過程，$dS=\mu Sdt+\sigma SdW$. 這是Black–Scholes模型中假設股票$S$服從的隨機過程。為了理解這個過程，我們來看一下Ito公式。假設函數$C(t,x)$有連續的二階導數，那么我們有
$dC(t,S)=C_{t}dt+C_{S}dS+\frac{1}{2}{C}_{SS}(dS{)}^2=C_{t}dt+C_S(\mu Sdt+\sigma SdW)+\frac{1}{2}{C}_{SS}(\mu Sdt+\sigma SdW{)}^2=C_{t}dt+C_S(\mu Sdt+\sigma SdW)+\frac{1}{2}{C}_{SS}{\sigma }^2{S}^{2}dt=(C_t+\mu S{C}_S+\frac{{\sigma }^2}{2}{S}^2{C}_{SS})dt+\sigma S{C}_{S}dW.$
理解Ito公式的一個簡單方法就是用泰勒展開。但我們必須記住保留二階微分項$(dS{)}^2$因為$(dW{)}^2=dt$.通過Ito公式，我們可以得到
$$d(lnS)=(\mu ?\frac{{\sigma }^2}{2})dt+\sigma dW$$
因此
$$S=e^{(\mu ?\frac{{\sigma }^2}{2})t+\sigma W(t)}.$$

Excel for the simulation of the above: https://github.com/mathengineer/BrownianMotionToAmericanOption

從Ito公式，我們很容易能得到Black-Scholes PDE. 我們考慮一個歐式看漲期權，期權的價格應該與時間和股票價格有關。我們假設這個期權在 $t$ 時刻的價格是 $C(t,S)$. 我們現在來看一個這個期權加上 $?C_S$ share 股票的一個投資組合。當時間變化了 $dt$ 這個投資組合的變化量應該為 $dC(t,S)?C_{S}dS$. 應用 Ito 公式，我們可以算出這個變化量為 $dC(t,S)?C_{S}dS=(C_t+\frac{{\sigma }^2}{2}{S}^2{C}_{SS})dt$. 可以看到這個投資組合并無任何隨機項 ($dW$項)。對于這樣一個無風險的投資組合，它的回報率只能為無風險利率 $r$, 所以 $dC(t,S)?C_{S}dS=r(C?C_{S}S)dt$. 結合上面的結果，我們推導出 $(C_t+\frac{{\sigma }^2}{2}{S}^2{C}_{SS})dt=r(C?C_{S}S)dt$. 這就是Black-Scholes PDE. 我們可以做變量代換把這個PDE轉化成熱方程從而得出期權的公式。這里我們不繼續深入討論這個做法。下面我們要介紹用中性(risk neutral)概率的方法來得到期權公式。概率的做法的好處是我們極其容易將它轉換成一套可以用蒙特卡洛方法的到期權價格的算法。

我們先來引入一個概率的概念鞅(martingale): 簡而言之，鞅$X$就是滿足條件期望不增不減的隨機過程 ($E[X(t)|\mathcal{F}(s)]=X(s)$ for all $s<t$). 如果期權價格$C(t,S)$是鞅的話，期權定價將變得極其容易$C(t,S(t))=E[C(T,S(T))|\mathcal{F}(t)]$, 而期權在最終時刻的價格就是$C(T,S(T))=(S(T)?K{)}^{+}$. 不幸的是期權價格$C(t,S)$并不是鞅。幸運的是，它幾乎等于鞅。我們從上面的推導看到期權加上 $?C_S$ share 股票的投資組合的回報率等于$r$. 這樣我們很容易可以看出期權等同于$C_S$ share 股票加上把剩余的前存進無風險銀行（或者從銀行借錢）的組合（$C_S$ share of S and the rest of money in money account M where $dM=rMdt$). 從股票的公式$dS=\mu Sdt+\sigma SdW$我們看到它的平均回報率是 $\mu$,這個回報率一般高于$r$來reward投資者接受的風險$\sigma$ ($\frac{\mu ?r}{\sigma }$就是夏普比Sharpe ratio)。Girsanov定理告訴我們，我們可以通過改變概率分布來改變隨機過程的drift(平均回報率項)。我們現在取一個中性概率空間，使得股票在此概率空間中的平均回報率剛好等于$r$，即$dS=rSdt+\sigma Sd\tilde{W}$. 在此空間中，我們剛才的股票加銀行賬戶的平均回報率就是$r$, 因而期權的平均回報率也就等于$r$. 在此概率空間，我們簡單的有$dC=rCdt+...d\tilde{W}$. 于是$d{e}^{?rt}C=...d\tilde{W}$. 既然我們只有布朗運動項，$e^{?rt}C$這個過程就必定是鞅。所以我們就有期權在中性概率下的定價公式$e^{?rt}C(t,S(t))=E[e^{?rT}C(T,S(T))|S(t)]$.

未完待續。接下來我們將講如何用上面的定價公式和蒙特卡洛方法來算歐式期權價格。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的从布朗运动到Black–Scholes的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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