產生背景: 牛頓迭代法（Newton's method）又稱為牛頓-拉夫遜方法（Newton-Raphson
method），它是牛頓在17世紀提出的一種在實數域和復數域上近似求解方程的方法。多數方程不存在求根公式，因此求精確根非常困難，甚至不可能，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要。方法使用函數f(x）的泰勒級數的前面幾項來尋找方程f(x)
= 0的根。牛頓迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大優點是在方程f(x) =
0的單根附近具有平方收斂，而且該法還可以用來求方程的重根、復根，此時線性收斂，但是可通過一些方法變成超線性收斂。另外該方法廣泛用于計算機編程中。
牛頓迭代公式

　　設r是f(x) = 0的根，選取x0作為r初始近似值，過點（x0,f(x0））做曲線y = f(x）的切線L，L的方程為y = f(x0)+f'(x0)(x-x0），求出L與x軸交點的橫坐標 x1 = x0-f(x0)/f'(x0），稱x1為r的一次近似值。過點（x1,f(x1））做曲線y = f(x）的切線，并求該切線與x軸交點的橫坐標 x2 = x1-f(x1）/f'(x1），稱x2為r的二次近似值。重復以上過程，得r的近似值序列，其中x(n+1）=x(n）－f(x(n))/f'(x(n)），稱為r的n+1次近似值，上式稱為牛頓迭代公式。

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　　解非線性方程f(x)=0的牛頓法是把非線性方程線性化的一種近似方法。把f(x）在x0點附近展開成泰勒級數 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +…
取其線性部分，作為非線性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展開的前兩項，則有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=0
設f'(x0）≠0則其解為x1=x0－f(x0)/f'(x0) 這樣，得到牛頓法的一個迭代序列：x(n+1）=x(n）－f(x(n))/f'(x(n)）。

牛頓迭代法示意圖

　　軍人在進攻時常采用交替掩護進攻的方式，若在數軸上的點表示A，B兩人的位置，規定在前面的數大于后面的數，則是A>B，B>A交替出現。但現在假設軍中有一個膽小鬼，同時大家又都很照顧他，每次沖鋒都是讓他跟在后面，每當前面的人占據一個新的位置，就把位置交給他，然后其他人再往前占領新的位置。也就是A始終在B的前面，A向前邁進，B跟上，A把自己的位置交給B（即執行B
= A操作），然后A 再前進占領新的位置，B再跟上……直到占領所有的陣地，前進結束。像這種兩個數一前一后逐步向某個位置逼近的方法稱之為迭代法。

　　迭代法也稱輾轉法，是一種不斷用變量的舊值遞推新值的過程，跟迭代法相對應的是直接法（或者稱為一次解法），即一次性解決問題。迭代算法是用計算機解決問題的一種基該方法。它利用計算機運算速度快、適合做重復性操作的特點，讓計算機對一組指令（或一定步驟）進行重復執行，在每次執行這組指令（或這些步驟）時，都從變量的原值推出它的一個新值。

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　　利用迭代算法解決問題，需要做好以下三個方面的工作：

　　一、確定迭代變量。在可以用迭代算法解決的問題中，至少存在一個直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變量，這個變量就是迭代變量。

　

????? 二、建立迭代關系式。所謂迭代關系式，指如何從變量的前一個值推出其下一個值的公式（或關系）。迭代關系式的建立是解決迭代問題的關鍵，通常可以使用遞推或倒推的方法來完成。

　　三、對迭代過程進行控制。在什么時候結束迭代過程？這是編寫迭代程序必須考慮的問題。不能讓迭代過程無休止地重復執行下去。迭代過程的控制通常可分為兩種情況：一種是所需的迭代次數是個確定的值，可以計算出來；另一種是所需的迭代次數無法確定。對于前一種情況，可以構建一個固定次數的循環來實現對迭代過程的控制；對于后一種情況，需要進一步分析出用來結束迭代過程的條件。 (摘自百度百科:http://baike.baidu.com/view/643093.htm)

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參考代碼如下：

/**

只考慮非負實數的算術平方根，

如果要考慮完全，則自己再修改

*/

#include <iostream>
#include <math.h>

using namespace std;

int main()
{
??? double a ;
??? cin>>a ;
??? double x = 1 ;
??? while(x*x - a > 0.0000001 || x*x - a < -0.0000001)
??? {
?????? x = (x + a/x)/2 ;
??? }
??? cout<< fabs(x) ;
??? return 0;
}

轉載于:https://www.cnblogs.com/ronaldHU/archive/2012/10/07/2714344.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的牛顿迭代法求求一个数的算术平方根的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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