文章目錄

• 浮點數
• • 一.什么是浮點數
  • 二.浮點數的形式
  • • 1.非規格化浮點數
    • 2.規格化浮點數
  • 三.IEEE754標準浮點數
  • • 1.單精度浮點數
    • 2.雙精度浮點數
  • 四.浮點數的運算
  • • 1.浮點數的加減法
    • 2.浮點數的乘除法
  • 五.C語言中的浮點數分析

浮點數

一.什么是浮點數

浮點數是與定點數相對的概念，計算機中的定點數約定小數點的位置不變，即人為約定俗成地規定了一個數小數點的位置。例如定點純整數約定了小數點在數值位的最后。定點純小數約定了數值位的最高位在小數點后面。

由于計算機字長的限制，當需要表示的數據有很大的數值范圍時，他們不能直接用定點小數或者定點整數表示

二.浮點數的形式

浮點數由尾數M和階碼E構成。基數為2的數F的浮點數表示為：
$$F=M?2^E$$

浮點數編碼規則：

• 尾數M必須為小數，用n+1位有符號定點小數表示，可采用的原碼，補碼。階碼E必須為整數，用k+1位有符號定點整數表示，可采用原碼，補碼，移碼。浮點數編碼的位數m=(n+1)+(k+1)
• 浮點數的編碼格式有多種，格式的選擇可由計算機設計人員決定，例如：

階符階碼數值部分數符尾數數值部分

1	k	1	n

其中：

(1)階碼是整數，其位數k+1決定了浮點數表示的數值范圍，也就是決定了數據的大小，或小數點在數據中的真實位置。階符決定階碼的正負。即階碼越長，所能表示的范圍越大

(2)尾數是小數，其位數n+1決定了浮點數的精度，如果尾數采用小數且位數n足夠長，則當浮點數運算需要對尾數運算結果舍入時，造成的數據精度損失會比較小。即尾數越長，所能表示的精度越高

(3)尾數的符號表示浮點數的正負。

1.非規格化浮點數

當對尾數M只要求是小數而無其他限制時，此時的浮點數被稱為非規格化浮點數。
假設階碼和尾數都用補碼表示，則非規格化浮點數可表示的范圍如下：

階碼和尾數數值階碼和尾數數值

階碼最小值	$?2^k$	階碼最大值	$2^k?1$
尾數最小負值	-1	尾數最大負值	$?2^{?n}$
尾數最小正值	$+2^{?n}$	尾數最大正值	$+(1?2^{?n})$

以8位數值位，一位符號位的階碼為例子： 由于用補碼表示，
所以階碼的最小值應該為：1 00000000 即 -2^8 = -256
而階碼的最大值應為：0 11111111 即 2^8-1 = 255

再來分析尾數的情況，假設尾數也是8位數值位，1為符號位補碼的形式：
由于我們限定了浮點數的尾數只能是小數，所以我們當成定點純小數的形式進行分析：
1.00000000表示了-1的補碼，即尾數的最小負值
1.11111111 表示了 $?2^{?n}$的補碼，即尾數的最大負值,其原碼是1.00000001
0.11111111表示了$+(1?2^{?n})$的補碼（原碼），即尾數的最大正值
0.00000001表示了$+2^{?n}$的補碼（原碼），即尾數的最小正值
當然0.00000000表示0，是其最小絕對值

2.規格化浮點數

為了使有限字長的二進制尾數能表示更多的有效數位，同時使浮點數有統一的表示形式，浮點數通常采用規格化形式來表示。

規格化浮點數要求將尾數M的絕對值限定在規定的數值范圍之內，即
$$\frac{1}{2}\le |M|<1（對于原碼而言）$$

要使尾數的絕對值在此范圍內，通過改變小數點的位置（相應地改變階碼）就可以做到。

為什么要這樣做，我們舉一個最簡單的例子，假如一個尾數M用原碼表示為：
0.00101000，那么這8位尾數的前2位都是0，這2個0實際上是無效數值位，我們完全可以改寫成： $$0.101000xx\times 2^{?2}$$ 當1左移到最高位時，尾數后面多出來了兩位可以多表示兩個有效位來提高精度（尾數越長，浮點數精度越高）
例如同樣要表示1101.1000000這個數，那么我們可以有這樣的不唯二的兩種表示形式：
$$（1）0.11011000\times 2^4$$
其中尾數是0 .11011101，階碼是0 0100
$$（2）0.00110110\times 2^6$$
其中尾數是0 .00110110，階碼是0 1100
(1)和(2)中，(1)是規格化浮點數，而(2)不是規格化浮點數

若尾數M用補碼表示，
則當M$\ge$ 0時，規格化尾數的形式必須為：
$$[M{]}_{補}=0.1XXXXXXX$$
則當M< 0時，規格化尾數的形式必須為：
$$[M{]}_{補}=1.0XXXXXXX$$

其中X為任意二進制值

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?注意（重點）?：

• 以上形式才是判斷浮點數是否規格化的一般方法：看尾數補碼的符號位與數值為最高位異或是否為1（即符號位與數值最高位不同）
• 判斷浮點數是否規格化的根本思想是：尾數數值位首位必須以有效位開頭
• 對于正數補碼（原碼）而言，有效位為1；對于負數補碼而言，有效位為0
• 基于以上判定準則，尾數-1（補碼）是規格化形式；尾數-1/2（補碼）不是規格化形式，注意不要與原碼規格化判定的絕對值范圍混淆

三.IEEE754標準浮點數

1.單精度浮點數

IEEE 754規定單精度浮點數的真值一般表示為：
$$N=(?1{)}^s\times 2^{e?127}\times 1.f$$

單精度浮點數編碼格式由三個字段構成：

• 數符s為1位，表示浮點數的正負
• 尾數編碼f為23位(采用原碼表示)
• 階碼編碼e為8位（含1位階符，采用移碼表示，偏移量127）

其中需要注意的是：
（1）IEEE 754中的階碼采用移碼來表示，但對于單精度浮點數來說，移碼的偏移量不是$2^7$而是$2^7?1=127$,這是因為IEEE 754將移碼編碼的全0和全1作為了特殊標識。

（2）IEEE 754浮點數是規格化浮點數，為了能夠更多地表示尾數的有效數位，規定尾數真值的整數部分必須為1，尾數編碼時整數1隱去，小數部分f用原碼表示。

對于階碼e全0和全1時的特殊含義：

• (1)當階碼全0，且尾數f不全0時，表示該浮點數不是規格化浮點數，尾數實際為：
  $$0.XXXXXXXX（次正規數）$$
  \space \space \space\space????而不是規定形式的：
  $$1.XXXXXXXX$$
• (2)當階碼e全1，且尾數f全為0時，則該浮點數表示正無窮大或負無窮大，當數符s為1時，表示負無窮大，當數符s為0時，表示正無窮大。
• (3)當階碼e全1，且尾數f不全為0時，則該浮點數表示非數值數據（NaN）。

總結.對于單精度浮點數：
(1)階碼的真值E=e-127，并且0<e<255，-126<E<127。

(2)當e=0或255時，在IEEE 754中表示特殊的數。

(3)所能表示的范圍為：
$$正數為：+2^{+127}\times (1+1?2^{?23})到+2^{?126}\times (1+0)$$
$$負數為：?2^{+127}\times (1+1?2^{?23})到?2^{?126}\times (1+0)$$

2.雙精度浮點數

簡要說明雙精度浮點數（與單精度浮點數相類似）：

（1)階碼的真值E的取值范圍為：-1022 ~ +1023,偏移量為+1023,階碼移碼編碼e為：
+1 ~ + 2046

（2）雙精度浮點數的規格化數表示為：
$$N=(?1{)}^s\times 2^{e?1023}\times 1.f$$

（3）所能表示的規格化數范圍：
$$正數為：+2^{+1023}\times (1+1?2^{?52})到+2^{?1022}\times (1+0)$$
$$負數為：?2^{+1023}\times (1+1?2^{?52})到?2^{?1022}\times (1+0)$$

（4）當e=0或e=2047時，在IEEE 754標準中表示特殊的數

浮點數的舍入規則：
1、就近舍入
2、朝0舍入
3、朝正無窮舍入
4、朝負無窮舍入
可以參考博文：IEEE754標準中的4種舍入規則

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IEEE754浮點數的下溢

四.浮點數的運算

1.浮點數的加減法

假設有兩個浮點數：
$$X=M_x\times 2^{E_x}$$
$$Y=M_y\times 2^{E_y}$$

• （1）對階：尾數右移，小階對大階，階碼小的尾數右移，階碼+1
• （2）尾數加減法運算：使用補碼運算，減法也采用補碼加法實現
• （3）規格化：尾數加減法運算后，結果可能是非規格化數。如果結果的真值M不滿足：$1/2\le M<1$,則是非規格化數需要規格化處理，根據情況分為以下兩種處理方式：

運算結果尾數的規格化處理(左規）：

運算結果尾數的溢出處理(右規）：

• （4）舍入處理：尾數右移時將舍棄尾數最低位：1）截斷法：直接將右移出的尾數低位丟棄。2）末位恒置1法：無論尾數右移丟棄的是1還是0，保證保留的尾數最低為永遠為1。3）0舍1入法：規則如下圖所示
  

浮點數加減法例題：

求解過程：

2.浮點數的乘除法

浮點數的乘法

浮點數的除法

浮點數規格化總結：

五.C語言中的浮點數分析

下面是一段c語言代碼：

float a = 12.5; int *p =(int *) &a;int b=*p;printf("b的值為：%d",b);

程序的執行結果是這樣的：

我們來思考一下程序為什么會得出這樣的結果，其實和IEEE 754單精度浮點數的存儲規則密切相關：

學過c語言指針的同學不難看出，上面的代碼不過是將單精度浮點數a 4個字節的存儲空間中的所有數以整數int形式讀出了而已。

下面我們根據IEEE 754單精度浮點數的規則，來推斷12.5在4個字節的存儲空間里是以怎樣的二進制形式存放的。

IEEE 754單精度浮點數規定，1位數符，8位階碼（移碼），23位尾數（原碼）。
那么12.5的

• 數符s為：0

• 尾數為：10010000000000000000000（原碼1.1001的小數部分：.1001）

• 階碼為：10000010（階碼真值為3，移碼為：3+127=130）
  所以，整個32位的浮點數為：
  01000001010010000000000000000000
  將得到的二進制形式轉換為10進制查看：
  
  轉換之后與程序得出的結果一致，這就證明了C語言中float類型確實采用了IEEE 754單精度浮點數的標準。

• 補充內容：IEEE754浮點數的漸進下溢

• 補充內容：浮點數精度丟失分析

總結

以上是生活随笔為你收集整理的浮点数详解（一篇彻底学通浮点数）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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