Index

• Splay
• • 說在前面
  • splay樹的基本思路
  • 基本的定義
  • splay函數(shù)
  • • 旋轉(zhuǎn) rotate
    • 伸展 splay
  • 插入 insert
  • 前驅(qū)&后繼 pre&nxt
  • 求數(shù)的排名和排名上的數(shù)
  • 刪除 deleted
  • 合并 join
  • 分離 split
  • 求最值 min&max
  • 翻轉(zhuǎn) turn
  • 其他區(qū)間操作(以SuperMemo為例)
  • • 翻譯
    • 一個個來
  • 代碼
  • • 普通平衡樹
    • 文藝平衡樹
    • SuperMemo
  • Splay的優(yōu)缺點
  • 參考文章

Splay

說在前面

關(guān)于二叉平衡樹是什么以及AVL樹的實現(xiàn)
用vector實現(xiàn)普通平衡樹！
qwq

標(biāo)題好長！
真是聲勢浩大，徒有其表。

splay樹的基本思路

出于某些原因（cache原理），在訪問了某個節(jié)點之后，接下來有90%的概率很頻繁地再次訪問該節(jié)點，如果能把這個大概率會被多次訪問的結(jié)點放到離樹根盡可能近的地方，那么就可以節(jié)省不少的時間。
（大概如此）

所以要想辦法把最近訪問的結(jié)點扔到距離根節(jié)點盡可能近的位置。

著名計算機學(xué)家tarjan就想到了辦法。

基本的定義

不寫這個后文進行不下去啊。

const int MAXN=102030; struct Splay_Tree {int val,c[2],up;//c[0]代表左兒子，c[1]代表右兒子,up代表父親 }tree[MAXN];bool which(int pos) {return tree[tree[pos].up].c[1]==pos; }//返回pos是它父親的哪個兒子

splay函數(shù)

splay的意思是伸展。
接下來給出的splay函數(shù)，能夠在保證一直保持著BST的結(jié)構(gòu)的同時，把某個節(jié)點伸展到根去。

怎么做呢？
參考AVL樹，我們可以一點一點地把這個點旋轉(zhuǎn)上去。

旋轉(zhuǎn) rotate

就以上圖為例子，假設(shè)被旋轉(zhuǎn)點在目標(biāo)點的左下方。
現(xiàn)在，我們要把紅色點轉(zhuǎn)到它的父親橙色點的上面。

嗯哼哼（試圖吸引注意力），我是紅點。
rotate的基本思路就是，讓我右上方的父親（因為在右邊所以比我大）成為我的右兒子。

我父親之前在我的哪上方，那就讓他去我的哪下方。

然而這樣就會有另外三對父子關(guān)系收到了威脅。

也就是說……

我原來的右兒子（粉色）將何去何從？
我原來的爺爺（藍色）的兒子（橙色）怎么就沒了？
我原來的兄弟（紫色）的父親（就是我的父親橙色）怎么就沒了？

不要慌張，我們冷靜分析。
現(xiàn)在，
需要爸爸的：粉色 紫色 紅色
需要兒子的：橙色（一左一右） 藍色
正好都是三個，看來可以平均分。

這樣就沒問題了。

橙色點的右兒子還是它的右兒子（紫色）。
紅色點的右兒子（粉色）就接在新的右兒子（橙色）下面，當(dāng)左兒子。
然后再讓紅色點接到原來的爺爺（藍色）下面。

（我寫了些什么？）

如果紅點在橙色點的右下角那就照照鏡子反過來。

也就是說，
如果我的父親在我的右上方，也就是我是我父親的左兒子。
那么就把我的父親拉下來成為我的新的右兒子。
此時，我的父親的左兒子就不是我了，我的右兒子的位置被擠占了（沒了和父親（我）的連接），我爺爺?shù)膬鹤右矝]有了。
于是讓我原來的右兒子成為我的原來的父親（現(xiàn)在新的右兒子）的左兒子，然后我篡權(quán)奪位，成為我原來爺爺?shù)男聝鹤印?/p>

因此rotate函數(shù)可以這么寫：

void rotate(int pos) {int up=tree[pos].up,upup=tree[up].up,is=which(pos);//如果我是我父親的左兒子(is=0)的話，就讓我的右兒子當(dāng)我父親的新的左兒子，我父親成為我的右兒子tree[up].c[is]=tree[pos].c[!is],tree[tree[pos].c[!is]].up=up;tree[pos].c[!is]=up,tree[up].up=pos;//爸爸認兒子的同時要記得兒子認爸爸啊//我的新爸爸就是我原來的爺爺，我原來的爺爺?shù)男碌膬鹤泳褪俏襱ree[pos].up=upup;if(upup) tree[upup].c[tree[upup].c[1]==up]=pos;//當(dāng)然如果爺爺是虛空（原來的爸爸就是根節(jié)點）的話，就不能爸爸認兒子了//還有還有，因為父子關(guān)系發(fā)生了說不清道不明的改變，所以這里不好用which，要用which一開始定義的時候的用 }

伸展 splay

我們發(fā)現(xiàn)通過rotate我們能在不改變樹的平衡性的同時讓某個點上升一層，但是這離我們的目標(biāo)（旋轉(zhuǎn)到根節(jié)點）還差得遠。

所以就有了splay操作：讓某個結(jié)點通過一次又一次rotate轉(zhuǎn)到根節(jié)點。比方說：

逆流而上的你眼前或許有無數(shù)曲折崎嶇道路，也許離終點遙遙無期，但是，
$結(jié)點到達根源葉子結(jié)點$
$人一定要有夢想，沒有夢想和咸魚有什么區(qū)別？！$

（這就是你四暗刻一向聽的時候碰碰杠杠做對對還一張dora沒有翻出來的原因？）

所以誰能告訴我這個“逆流而上的你”是什么啊還消不掉！（見下圖）

咳咳，話說回來，逆流而上的你眼前或許有無數(shù)曲折崎嶇道路，也許離終點遙遙無期，但是，絕無無法行走的路 （定義如此，走不了就不叫路了） ，只要你想要到達，就沒有無法克服的障礙，只要你想辦法的話。
在你一步一步往上rotate的時候，你的道路大概可以分為以下三類，六種：

還有一類沒有畫上去，就是爸爸就是根節(jié)點，沒有爺爺的情況，這個直接一個rotate就解決了。

折線形沒有什么好說的，一步一步rotate上去吧。
關(guān)于直線型：就是我是爸爸的a兒子，我爸爸是我爺爺?shù)腶兒子的情況。
科學(xué)家們告訴我們，這個時候應(yīng)該先rotate(爸爸)，再rotate(我)。
如果仍然是一直埋頭苦干rotate(我)，這樣的自平衡方法叫做Spaly；而先rotate(父親)，再rotate(我)的自平衡方法叫做splay。
如下圖：

乍一看差不多，甚至某道題目(BZOJ1036樹的統(tǒng)計Count)我把splay換成了spaly會快一些(5600ms->5000ms)，但是咨詢了Freopen/Kyle/wk大佬后，Freopen/Kyle/wk告訴我，“可以證明splay更優(yōu)，而且出數(shù)據(jù)的時候可以卡spaly。”
（所以說科學(xué)家等于wk?）

哇。

總結(jié)一下：

情況應(yīng)對方法

我爸爸是根，我沒有爺爺	rotate(我)
我，我爸爸，我爺爺呈一條直線	rotate(父),rotate(我)
我，我爸爸，我爺爺呈一條折線	rotate(我),rotate(我)

所以就可以得到splay函數(shù)：

void splay(int pos) {while(tree[pos].up){if(tree[tree[pos].up].up && which(tree[pos].up)==which(pos)) rotate(tree[pos].up);rotate(pos);}root=pos;//一個全局變量root來記錄splay樹的根 }

當(dāng)然，用splay操作可以使一個節(jié)點上升到它上面的任意一個結(jié)點

插入 insert

和正常的二叉平衡樹一樣，先找到對應(yīng)的位置，直接插入，沒問題的。
然后再spaly到根節(jié)點上去。

void insert(int pos,int val,int up) //調(diào)用的時候就用insert(root,某個值,0) {if(!pos){tree[++n].val=val,tree[n].up=up;tree[up].c[tree[n].val>tree[up].val]=n;//認別人做爸爸的同時，別人也要認你做兒子splay(pos);//此時不同的題有不同的操作return ;}insert(tree[pos].c[val>tree[pos].val],val,pos);//這里默認每個點的值都不同，如果相同的話就在不同的題里面有不同的處理方式 }

前驅(qū)&后繼 pre&nxt

也有叫upper和lower的，還有等等名字。
和一般的二叉平衡樹沒有什么區(qū)別。

//默認了各個數(shù)不相同，不過知道了原理之后想怎么樣都無所謂吧 int pre(int val) {int pos=root,ans=-2147483647;while(pos){if(tree[pos].val<val) ans=max(ans,tree[pos].val);pos=tree[pos].c[val>tree[pos].val];}return ans; } //所謂前驅(qū)就是小于某個值的最大值，也可以說是這個點的左子樹里面最靠右的那個端點。int nxt(int val) {int pos=root,ans=2147483647;while(pos){if(tree[pos].val>val) ans=min(ans,tree[pos].val);pos=tree[pos].c[val>tree[pos].val];}return ans; } //基本上是復(fù)制之前寫AVL的時候?qū)懙哪莻€

求數(shù)的排名和排名上的數(shù)

我稱之為：$getrank()$和$rankget()$。

如果采用惰性方法的話就很方便。
現(xiàn)在我們給每個節(jié)點新增兩個變量，cnt和siz。
cnt代表這個點上重復(fù)有多少個數(shù)。比方說val=1的點的cnt=4，就代表插入了4個1，都被塞到同一個點里。
siz代表子樹里數(shù)的個數(shù)（也就是說，不是子樹點的個數(shù)，而是子樹里各個點的cnt的值的和）
這樣子的話，插入和刪除會有些許變化。記得在樹的結(jié)構(gòu)或者點的cnt改變的時候pushup一下來維護siz。（也就是insert和delete和splay的時候→也就是splay的時候）到時候給出普通平衡樹模板的時候一并看吧。

然后rankget，就是和找前驅(qū)差不多了，用找前驅(qū)的方法加上siz這個變量就可以輕松把前驅(qū)是誰轉(zhuǎn)換成求前驅(qū)有幾個的問題了。就是找到前驅(qū)然后把前驅(qū)的siz+1就是答案了。

然后是getrank，感覺像find和getrank的結(jié)合體，有了siz和cnt，我們就知道每個pos的val所對應(yīng)的排名的區(qū)間是多少了。就是$\left[\mathbf{t}\mathbf{r}\mathbf{e}\mathbf{e}[\mathbf{t}\mathbf{r}\mathbf{e}\mathbf{e}[\mathbf{p}\mathbf{o}\mathbf{s}].\mathbf{c}[0]].\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{z}+1,\mathbf{t}\mathbf{r}\mathbf{e}\mathbf{e}[\mathbf{t}\mathbf{r}\mathbf{e}\mathbf{e}[\mathbf{p}\mathbf{o}\mathbf{s}].\mathbf{c}[0]].\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{z}+\mathbf{t}\mathbf{r}\mathbf{e}\mathbf{e}[\mathbf{p}\mathbf{o}\mathbf{s}].\mathbf{c}\mathbf{n}\mathbf{t}\right]$，如果在這個范圍里，那么就找到了，如果給定的排名在這個排名區(qū)間的左邊，那就說明我們要找的數(shù)比當(dāng)前的數(shù)要小，那么就向左二分下去，如果在右邊就向右邊。
需要稍微注意一下的是，向右邊搜的時候，給定的排名要減去$(tree[tree[pos].c[0]].siz+tree[pos].cnt)$，因為當(dāng)前節(jié)點的siz是它的左兒子+右兒子+自己，比方說左兒子和右兒子是[1,2,3,4,5,6,7]和[8,9,10]找第八名，當(dāng)然應(yīng)該在右兒子里面找了，但是右兒子只有3個數(shù)沒有第8名,所以把8-7（左兒子的siz）得到1，我們應(yīng)該在右兒子里面查詢第1大的數(shù)。

void pushup(int pos) {tree[pos].siz=tree[tree[pos].c[0]].siz+tree[tree[pos].c[1]]+tree[pos].cnt; } //目前的pushup只有siz一個，因為查找前驅(qū)后繼不會改變數(shù)的形態(tài)更不會改變siz所以不pushup//調(diào)用的時候調(diào)用getrank(val,root)，對了，還有可能找不到，所以記得特判 int getrank(int val,int pos) {if(pos==0) return 2147483647;if(val==tree[pos].val) return tree[tree[pos].c[0]].siz+1;else {if(val<tree[pos].val) return getrank(val,tree[pos].c[0]);else return getrank(val,tree[pos].c[1])+tree[tree[pos].c[0]].siz+tree[pos].cnt;} }int rankget(int rak,int pos) {if(pos==0) return -2147483647;if(rak>=tree[tree[pos].c[0]].siz+1 && rak<=tree[tree[pos].c[0]].siz+tree[pos].cnt) return tree[pos].val;else{if(rak<tree[tree[pos].c[0]].siz+1) return rankget(rak,tree[pos].c[0]);return rankget(rak-tree[tree[pos].c[0]].siz-tree[pos].cnt,tree[pos].c[1]);} }

刪除 deleted

因為delete這個函數(shù)名已經(jīng)有了，所以加了一個d。

采用惰性刪除。

現(xiàn)在要分好幾種情況來討論。

首先，如果cnt-1之后還有剩余，就平安無事什么也不用干，cnt–就是了。

如果cnt==1，也就是刪除了這個點就沒有了：
（說實話空留一個cnt=0的點在那里浪費時間空間好像沒什么問題啊）
先把這個要刪除的東西splay到根節(jié)點處。

如果要刪除的點（目前已經(jīng)splay到根了），沒有兒子： 這棵樹的最后的一個數(shù)被你刪了，這棵樹完了。
如果只有一個兒子：那么就直接把這個根節(jié)點移除掉，并把根節(jié)點的位置傳給那個兒子。

如果有兩個兒子的話：
把前驅(qū)找到并splay上來，然后把被刪除點的右兒子接到前驅(qū)的右邊，自己消失掉。

void deleted(int val) {getrank(val);//隨便整一下把目標(biāo)點splay上來if(--tree[root].cnt) return;//如果刪掉一個還有剩余，就無事發(fā)生if(!tree[root].c[0] && !tree[root].con[1]) root=0;//如果連根無子無孫，那這棵樹就沒了else if(!tree[root].c[1]) root=tree[root].c[0],tree[root].up=0,pushUp(root);else if(!tree[root].c[0]) root=tree[root].c[1],tree[root].up=0,pushUp(root);//如果只有一個兒子，那就讓那個兒子接替自己的位置else {int pre=tree[root].c[0],pos=root;while(tree[pre].c[1]) pre=tree[pre].c[1];//找前驅(qū)splay(pre),tree[tree[pos].c[1]].up=root,tree[root].c[1]=tree[pos].c[1],pushup(root);//把前驅(qū)再轉(zhuǎn)上來，現(xiàn)在目標(biāo)點（pos）就是根節(jié)點的右兒子} }

現(xiàn)在普通平衡樹的各個功能就寫好了。
然后是，

合并 join

有一顆Splay樹（記為S1）的所有節(jié)點都比另一顆Splay樹（記為S2）的最小的節(jié)點小的時候，

于是讓S1最大的節(jié)點Splay到S1的根，然后把S2接到S1的右下方。

好雞肋的功能。
圖來自楊思雨的論文。

分離 split

給定數(shù)x，把一顆splay樹分成兩棵樹，其中一棵樹的值都小于x，另一顆都大于x。
首先把x這個點splay到根，然后它的左子樹和右子樹即為所求。

求最值 min&max

這個就一直往左or右走就是了。

翻轉(zhuǎn) turn

現(xiàn)在來考慮做文藝平衡樹。
文藝平衡樹要我們支持對一個數(shù)列進行區(qū)間翻轉(zhuǎn)再輸出。

首先，為了把用一棵樹來存一個數(shù)列，所以和普通的SBT不同（普通的SBT的中序遍歷是一個不下降序列）的，現(xiàn)在我們維護的splay樹的中序遍歷是這個區(qū)間本身。也就是從按權(quán)值不下降排序到下標(biāo)不下降排序。

舉個例子就是一個數(shù)組{1,3,4,5,6,7,2,4,5,2}，在一個普通的Splay樹中，它的中序遍歷是{1,2,2,3,4,4,5,5,6,7}，在支持區(qū)間翻轉(zhuǎn)的Splay樹中，中序遍歷是**{1,3,4,5,6,7,2,4,5,2}**。

然后怎么區(qū)間翻轉(zhuǎn)呢？

先建一顆樹，按照題目所要求的，就假設(shè)N=12，那么數(shù)列就是{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，建成splay樹以后可以長這個樣子：

上圖的確是跑splay的時候跑出來的。

現(xiàn)在我們可以看到，中序遍歷就是{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，假設(shè)現(xiàn)在我們要翻轉(zhuǎn)區(qū)間[l,r]，比方說[4,6]，就是圖中綠點的區(qū)間：

我們先想辦法把這個區(qū)間給獨立出來。
那么我們先把r+1這個點Splay到根節(jié)點，也就是Splay(7)。

轉(zhuǎn)上來了。

然后再把l-1轉(zhuǎn)到r+1的左兒子，也就是Splay(3,tree[root].c[0])。
畢竟上文說了，可以把一個點splay到它上方任意一個節(jié)點，而它肯定在根節(jié)點的左側(cè)，那么根節(jié)點的左兒子一定在它的上方。

現(xiàn)在我們就把要操作的區(qū)間獨立出來了，就是根的左兒子的右子樹。（是一顆樹）
那么現(xiàn)在就可以做很多事情了。

比方說翻轉(zhuǎn)，對于這個獨立出來的子樹，要翻轉(zhuǎn)相當(dāng)于交換每個節(jié)點的左右兒子，但是來如果要交換的話，那么就會很麻煩，況且一個區(qū)間被多次翻轉(zhuǎn)之后，很有可能翻轉(zhuǎn)回來，就浪費很多時間空間。

所以打懶標(biāo)記吧。
標(biāo)記一下這個點是否要翻轉(zhuǎn)左右兒子，輸出的時候如果有標(biāo)記就翻轉(zhuǎn)地輸出。
然后每次翻轉(zhuǎn)區(qū)間的時候不需要對整個區(qū)間打標(biāo)記，只需要在最上面的那個點那里打標(biāo)記就行了。
如果要訪問這個區(qū)間里沒有打過標(biāo)記的點，那么必然會訪問剛才打過標(biāo)記的那個“最上面那個點”，那么在訪問那個點的時候就把標(biāo)記下傳給兒子們，接下來訪問某個兒子，訪問這個兒子的時候再下傳給它的兒子……直到我們訪問到要找的那個點，此時它已經(jīng)得到懶標(biāo)記了，而整個過程幾乎沒有浪費時間在給暫時無關(guān)的結(jié)點打標(biāo)記上。

代碼就丟在文藝平衡樹里面吧。

對了對了，因為要訪問$\mathbf{l}?1$和$\mathbf{r}+1$這兩個結(jié)點，所以為了不在翻轉(zhuǎn)區(qū)間$[1,\mathbf{x}]$或$[\mathbf{x},\mathbf{n}]$的時候爆掉，要在1號點之前加一個-inf，在n號點之后加一個inf，既然這樣那么哪個點對應(yīng)哪個值就一定要想清楚了。

其他區(qū)間操作(以SuperMemo為例)

Your friend, Jackson is invited to a TV show called SuperMemo in which the participant is told to play a memorizing game. At first, the host tells the participant a sequence of numbers, $A1,A2,...An$. Then the host performs a series of operations and queries on the sequence which consists:

$ADDxyD$: Add D to each number in sub-sequence $Ax...Ay$ For example, performing “$ADD241$” on $1,2,3,4,5$results in $1,3,4,5,5$
$REVERSExy$: reverse the sub-sequence $Ax...Ay$. For example, performing “$REVERSE24$” on $1,2,3,4,5$ results in $1,4,3,2,5$
$REVOLVExyT$: rotate sub-sequence $Ax...Ay$ T times. For example, performing “$REVOLVE242$” on $1,2,3,4,5$ results in $1,3,4,2,5$
$INSERTxP$: insert P after Ax. For example, performing “$INSERT24$” on $1,2,3,4,5$ results in $1,2,4,3,4,5$
$DELETEx$: delete Ax. For example, performing “$DELETE2$” on $1,2,3,4,5$ results in $1,3,4,5$
$MINxy$: query the participant what is the minimum number in sub-sequence $Ax...Ay$. For example, the correct answer to “$MIN24$” on $1,2,3,4,5$ is $2$
To make the show more interesting, the participant is granted a chance to turn to someone else that means when Jackson feels difficult in answering a query he may call you for help. You task is to watch the TV show and write a program giving the correct answer to each query in order to assist Jackson whenever he calls.

翻譯

寫一個數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)支持六種操作：
①$ADDxyD$，對于區(qū)間$[x,y]$每個數(shù)都加上$D$。
②$REVERSExy$，翻轉(zhuǎn)區(qū)間$[x,y]$。
③$REVOLVExyT$，這個厲害了，把區(qū)間$[x,y]$里的每個數(shù)在這個區(qū)間里面循環(huán)右移$T$次，舉個例子就是：$1,2,3,4,5\to 5,1,2,3,4\to 4,5,1,2,3\to 3,4,5,1,2$
④$INSERTxP$，在$x$點的后面插入一個值為$P$的點。
⑤$DELETEx$，刪掉點$x$。
⑥$MINxy$，求區(qū)間$[x,y]$的最小值。

一個個來

對于ADD操作，先把這個區(qū)間獨立出來，然后打一個加法懶標(biāo)記。
對于REVERSE操作，上面有。
對于REVOLVE操作，聲勢浩大，徒有其表，首先先把T%=(y-x+1);，那么就是把這個區(qū)間的后T個數(shù)移到前面y-x+1-T個數(shù)的前面；那么就是把前y-x+1-T個數(shù)REVERSE，把后T個數(shù)REVERSE，然后再把整個區(qū)間REVERSE就行了。

（這個字體的6寫得像4）
對于INSERT操作，因為它要求在某個點后面插入值，所以先把這個值$x$當(dāng)成一個區(qū)間$[x,x]$（數(shù)學(xué)考試這么寫是會被扣分的）把它獨立出來，也就是先把$x+1$ $Splay$到根節(jié)點，再把$x?1$ $Splay$到根節(jié)點的兒子，那么$x$就在$x?1$的右兒子，然后再把$P$接上去就是了。
對于DELETE操作，和INSERT一樣，把$x$獨立出來以后直接取下來就是了。
對于MIN操作，因為我們的樹不是按照數(shù)值大小關(guān)系來排序的，所以要額外開一個值來記錄子樹里的最小值，和siz一起push_up。

代碼

普通平衡樹

咕咕咕

文藝平衡樹

咕咕咕

SuperMemo

咕咕咕

Splay的優(yōu)缺點

相較于AVL和Treap，Splay可以少存一個平衡因子。

Splay還有一個很重要的特性，那就是不穩(wěn)定性，可能飚的很快，也可能被神秘卡掉。
所以“在嚴謹場合”不建議使用。

代碼實現(xiàn)比AVL要簡單一些。

參考文章

以下每一篇都比我的這個好：
伸展樹的基本操作與應(yīng)用 IOI2004國家集訓(xùn)隊 楊思雨
https://blog.csdn.net/a_comme_amour/article/details/79382104
https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/7499020.html &https://blog.csdn.net/qq_30974369/article/details/77587168（并不詳細地講了spaly為什么會被卡）
https://blog.csdn.net/chenxiaoran666/article/details/81414567
http://www.cnblogs.com/dalt/p/8167168.html（時間復(fù)雜度分析）
https://blog.csdn.net/CABI_ZGX/article/details/82819882 （SuperMemo）
https://blog.csdn.net/DERITt/article/details/50485008 （更多的區(qū)間操作）

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【原创】/Restarting/ Splay树 （普通平衡树 文艺平衡树 bzoj1895 poj 2580 SuperMemo 题解）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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