第一章? ? ? ? 緒論

1.1? 研究背景

1.1.1? 陣列信號處理簡介：

將一組傳感器按照一定方式布置在空間的不同位置，形成傳感器陣列。用傳感器陣列來接收空間信號，相當于對空間分布的場信號采樣，得到信號源的空間離散觀測數據。通過對陣列接受的信號進行處理，增強有用信號，抑制干擾或者噪音，并提取有用的信號特征及信號包含的信息。

1.1.2? 陣列信號處理研究方向：

1.波束形成技術——使陣列天線方向圖的主瓣指向所需的方向，并將干擾置零。

2.空間譜估計——對空間信號波達方向的分布進行超分辨估計。

3.信號源定位——確定陣列到信源的仰角、方位角、頻率、時延、距離等。

4.信源分離——確定各個信源發射的信號波形。各個信源從不同方向到達陣列，這使得這些信號波形得以分離，即使他們在時域和頻域是疊加的。

第二章? ? ? ? 陣列信號處理基礎

2.1? 矩陣代數相關知識

2.1.1? 特征值與特征向量

，若標量和非零向量滿足方程：

則稱標量為矩陣的特征值，非零向量為與對應的特征向量。特征值和特征向量總是成對出現，稱為矩陣的特征對，特征值可能為0，但特征向量一定非零。

2.1.2? 廣義特征值與廣義特征向量

，?若標量和非零向量滿足方程：

則稱標量為矩陣相對于矩陣的廣義特征值，非零向量為與對應的廣義特征向量。如果矩陣B非滿秩，那么可以是任意值（包括0）。當矩陣B為單位陣時，就成為了普通特征值問題。

?2.1.3? 矩陣的奇異值分解

對于復數矩陣，稱的n個特征根的算術根為的奇異值。其中上標H表示矩陣的共軛轉置。

若記矩陣，其中是的全部非零奇異值，則稱mxn矩陣S為A的奇異值矩陣。

奇異值分解定理：

對于mxn維矩陣A，則分別存在一個mxm維酉矩陣U和一個nxn維酉矩陣V，使得

2.1.4? Toeplitz矩陣

定義：具有以下形式的2n-1個元素的n階矩陣稱為Toeplitz矩陣，簡稱T矩陣

T矩陣完全由第一行和第一列的2N-1個元素確定。托普利茲矩陣的主對角線上的元素相等，平行于主對角線的線上的元素也相等；矩陣中的各元素關于次對角線對稱

2.1.5? Hankel矩陣

定義：具有以下形式的n+1階矩陣稱為Hankel矩陣或正交對稱矩陣

可見Hankel矩陣完全由第一行和第n列的2n+1個元素確定。其中沿著所有垂直于主對角線的直線上有相同的元素。是每一條副對角線上的元素都相等的矩陣。

2.1.6? Vandermonde矩陣（范德蒙德矩陣）

定義具有以下形式的mxn階矩陣

稱為范德蒙德矩陣。如果，那么V是非奇異的。

2.1.7? Hermitian矩陣（自共軛矩陣）

如果矩陣滿足：

那么A稱為自共軛矩陣。自共軛矩陣有以下性質：

（1）所有特征值是實數

（2）對應于不同特征值的特征向量相互正交

（3）自共軛矩陣可分解為的形式，這一分解稱作譜定理，也就是矩陣A的特征值分解定理。其中是由特征向量構成的酉矩陣。

2.1.8? Kronecker積（克羅內克積也被稱為直積或張量積）

定義：矩陣和矩陣的Kronecker積記作，他是一個pmxqn的矩陣，定義為：

Kronecker積有一個重要性質，即：，以下等式成立：

其中，vec()為向量化算子，，且vec(A)形式為：

Kronecker積具有如下一些性質：

2.1.9? Khatri-Rao積（KR積）

考慮兩個具有相同列數的矩陣，他們的KR積為一個IJxF的矩陣，定義為：

即KR積為兩個矩陣對應列向量的Kronecker積。

KR積具有如下性質：

令,KR乘積具有性質：

其中，unvec()是矩陣化算子，是vec()的逆運算：

而表示一個對角矩陣，其元素為向量x中的元素。

2.1.10? Hadamard積

矩陣的Hadamard積定義為：

2.1.11? 向量化

通常，張量和矩陣用向量表示比較方便。定義矩陣的向量化為：

vec算子將矩陣Y的所有列向量堆積成為1個向量。

類似的可以定義張量Y的向量化為相應的模-1展開矩陣Y_(1)。以三階張量的向量化可以寫為：

vec算子的基本性質：

???????

總結

以上是生活随笔為你收集整理的《阵列信号处理及MATLAB实现》绪论、矩阵代数相关内容总结笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。