1. 數值微分法

??已知過端點$P_0(x_0,y_0)$，$P_1(x_1,y_1)$的直線段$L(P_0,P_1)$；直線斜率$k=\frac{y_1?y_0}{x_1?x_0}$。畫線的過程為：從$x$的左端點$x_0$開始，向右端點步進，步長為1(像素)，按$y=kx+b$計算相應的$y$坐標，并取像素點$(x,round(y))$作為當前坐標。但這樣做，計算每一個點需要做一個乘法、一個加法。設步長為$\Delta x$，有$x_{i+1}=x_i+\Delta x$，于是
$$y_{i+1}=k{x}_{i+1}+b=k{x}_i+k\Delta x+b=y_i+k\Delta x\text{\hspace{1em}(1.1)}$$
??當$\Delta x=1$時，有$y_{i+1}=y_i+k$。即$x$每遞增1，$y$遞增$k$(即直線的斜率)。這樣，計算就由一個乘法和加法減少為一個加法。

• 算法程序：DDA畫線算法程序

void DDALine(int x0, int y0, int x1, int y1, int color) {int x;float dx, dy, y, k;dx = x1 - x0, dy = y1 - y0;k = dy/dx, y = y0;for(x = x0; x < x1; x++,y+=k){drawpiexl(x, int(y + 0.5), color);} }

注意： 用int(y + 0.5)取整的目的是為取離真正交單近的像素網格點作為光柵化的點。
??應當注意的是，上述算法僅適用于$k\le 1$的情形。在這種情況下，$x$每增加1，$y$最多增加1。當$|k|\ge 1$時，必須把$x,y$地位互換，$y$每增加1，$x$相應增加$1/k$。本節的其它算法也是如此。在這個算法中，$y$與$k$必須用浮點數表示，而且每一步都要對$y$進行四舍五入后取整，這使得該算法不利于硬件的實現。

2.中點畫線法

??通過觀察可以發現，畫直線段的過程中，當前像素點$(x_p,y_p)$，下一個像素點有兩種選擇點$P_1(x_p+1,y_p)$或$P_1(x_p+1,y_p+1)$。若$M=(x_p+1,y_p+0.5)$為$P_1$與$P_2$的中點，$Q$為理想直線與$x=x_p+1$垂線的交點。當$M$在$Q$的下方時，$P_2$應為下一個像素點；當$M$在$Q$的上方時，應取$P_1$為下一點。這就是中點畫線法的基本原理(可見下圖)。對直線段$L(p_0(x_0,y_0),p_1(x_1,y_1)))$，采用方程$F(x,y)=ax+bx+c=0$表示，其中$a=y_0?y_1,b=x_1?x_0,c=x_0{y}_1?x_1{y}_0$。于是有下述點與$L$的關系：
$$?\begin{array}{l}\text{線上}：F(x,y)=0\\ \text{上方}：F(x,y)>0\\ \text{下方}：F(x,y)<0\end{array}$$
??因此，欲判斷$M$在$Q$上方還是下方，只要把$M$代入$F(x,y)$，并判斷它的符號即可。構造如下判別式：
$$d=F(M)=F(x_p+1,y_p+0.5)=a(x_p+1)+b(y_p+0.5)+c\text{\hspace{1em}(1.2)}$$
??當$d<0$，$M$在$L$($Q$點)下方，取$P_2$為下一像素；當$d>0$，$M$在$L$($Q$點)上方，取$P_1$為下一像素；當$d=0$，選$P_1$或$P_2$均可，約定取$P_1$為下一個像素。
??用式(1.2)計算符號時，需要4個加法和2個乘法。事實上，$d$是$x_p,y_p$的線性函數，因此可采用增量計算，提高運算效率。方法如下

• (1)若$d\ge 0$，則取正右方像素$P_1(x_p+1,y_p)$。判斷下一個像素的位置時，應計算$d_1=F(x_p+2,y_p+0.5)=a(x_p+2)+b(y_p+0.5)+c=d+a$，增量為$a$。
• (2)若$d<0$，則取正右方像素$P_2(x_p+1,y_p+1)$。判斷下一個像素的位置時，應計算$d_1=F(x_p+2,y_p+1.5)=a(x_p+2)+b(y_p+1.5)+c=d+a+b$，增量為$a+b$。
  ??設從點$(x_0,y_0)$開始畫線，$d$的初值$d_0=F(x_p+1,y_p+0.5)=F(x_0,y_0)+a+0.5b$。因$F(x_0,y_0)=0$，則$d_0=a+0.5b$。由于使用的只是$d$的符號，而$d$的增量都是整數，只是初始值包含小數。因此可以用$2d$代替$d$來擺脫點運算，寫出僅包含整數運算的算法。
• 算法程序：中點畫線算法程序

void MidpointLine(int x0, int y0, int x1, int y1, int color) {int a, b, d1, d2, d, x, y;a = y0 - y1, b = x1 - x0, d = 2*a + b;d1 = 2*a, d2 = 2*(a + b);x = x0, y = y0;drawpixel(x,y,color);while(x < x1){if(d < 0)x++, y++, d+=d2;elsex++, d+=d2;drawpixel(x,y,color)；} }

3.Bresenham算法

??Bresenham算法是在計算機圖形學領域內使用最廣泛的直線掃描轉換算法。該方法類似于中點法，由誤差項符號決定下一個像素取右邊點還是右上角。
??算法原理如下：過各行各列像素中心構造一組虛擬網絡線，按直線從起點到終點的順序計算直線與各垂直網絡的交點，然后確定該列像素中與此交點最近的像素。該算法的巧妙在于采用增量計算，使得每一列，只要檢查一個誤差項的符號，就可以確定該列所求的像素。
??如圖所示，設直線方程為$y=kx+b$，則有$y_{i+1}=y_i+k(x_{i+1}?x_i)=y_i+k$，其中$k$為直線的斜率。假設$x$列的像素坐標已經確定為$x_i$，其行坐標$y_i$，那么下一個像素的列坐標為$x_i+1$，而行坐標要么為$y_i$要么為$y_i+1$。是否增1取決于圖所示的誤差項$d$的值。因為直線的起始點在像素中心，所以誤差項$d_0=0$。$x$下標每增加1，$d$的值相應遞增直線斜率值$k$，即$d=d+k$。當$d\ge 0.5$時，直線與$x_i+1$列垂直網絡的交點最接近于當前像素$(x_i,y_i)$的右上方像素$(x_i+1,y_i+1)$，該像素在$y$方向增加1，同時作為下一次計算的新基點，因此$d$值相應減1；而當$d<0.5$，更接近于右方像素$(x_i+1,y_i)$。為了方便計算，令$e=d?0.5$，$e$的初始值為-0.5，增量為k。當$e\ge 0$，取當前像素$(x_i,y_i)$的右上方像素$(x_i+1,y_i+1)$，$e$減小1；而當$e<0$時，更接近于右方的像素$(x_i+1,y_i)$。

• Bresenham畫線算法程序

void BresenhamLine(int x0, int y0, int x1, int y1, int color) {int x, y, dx, dy;float k, e;dx = x1 - x0, dy = y1 - y0, k = dy/dx;e = -0.5, x = x0, y = y0;for(int i = 0; i < dx; i++){drawpixel(x, y, color);x = x + 1, e = e + k;if(e >= 0)y++, e = e-1;} }

上述Bresenham算法在計算直線斜率與誤差項時用到了小數與除法，可以改用整數以避免除法。由于算法中只用到了誤差項的符號，因此可以做如下替換$e^{\prime }=2?e?dx$。

• 改進的Bresenham畫線算法程序

void BresenhamLine(int x0, int y0, int x1, int y1, int color) {int x, y, dx, dy, e;dx = x1 - x0, dy = y1 - y0, e = -dx;x = x0, y = y0;for(int i = 0; i < dx; i++){drawpixel(x, y, color);x = x + 1, e = e + 2*dy;if(e >= 0)y++, e = e-2*dx;} }

4. 代碼實現(VS2017 + OpenGL)

#include "pch.h" #include <iostream> #include <gl\glut.h> #include <gl\GL.h> #include <gl\GLU.h> using namespace std;void init(void) {glClearColor(1.0, 1.0, 1.0, 0.0); // Set display-window color to white.glMatrixMode(GL_PROJECTION); // Set projection parameters.gluOrtho2D(0.0, 200.0, 0.0, 150.0); }//窗口大小改變時調用的登記函數 void ChangeSize(GLsizei w, GLsizei h) {if (h == 0)h = 1;glViewport(0, 0, w, h);glMatrixMode(GL_PROJECTION);glLoadIdentity();if (w <= h)glOrtho(0.0f, 250.0f, 0.0f, 250.0f*h / w, 1.0, -1.0);elseglOrtho(0.0f, 250.0f*w / h, 0.0f, 250.0f, 1.0, -1.0); }//DDA算法函數 void DDALine(int x0, int y0, int x1, int y1) {glColor3f(1.0, 0.0, 0.0); //設置像素點顏色為紅色glPointSize(2.0f); //設置像素點大小int x;float dx, dy, y, k;dx = x1 - x0, dy = y1 - y0;k = dy / dx, y = y0;for (x = x0; x < x1; x++, y += k){glVertex2i(x, int(y + 0.5));} } //中點畫線算法 void MidpointLine(int x0, int y0, int x1, int y1) {glColor3f(0.0, 1.0, 0.0); //設置像素點顏色為綠色glPointSize(2.0f); //設置像素點大小int a, b, d1, d2, d, x, y;a = y0 - y1, b = x1 - x0, d = 2 * a + b;d1 = 2 * a, d2 = 2 * (a + b);x = x0, y = y0;glVertex2f(x, y);while (x < x1){if (d < 0) {x++, y++, d += d2;}else {x++, d += d1;}glVertex2f(x, y);} } //Bresenham算法畫線 void BresenhamLine(int x0, int y0, int x1, int y1) {glColor3f(0.0, 0.0, 1.0); //設置像素點顏色為藍色glPointSize(2.0f); //設置像素點大小int x, y, dx, dy, e;dx = x1 - x0, dy = y1 - y0, e = -dx;x = x0, y = y0;for (int i = 0; i < dx; i++){glVertex2f(x, y);x = x + 1, e = e + 2 * dy;if (e >= 0)y++, e = e - 2 * dx;} } void display() {int x1_1 = 20, y1_1 = 20, x2_1 = 160, y2_1 = 80;int x1_2 = 20, y1_2 = 40, x2_2 = 160, y2_2 = 100;int x1_3 = 20, y1_3 = 60, x2_3 = 160, y2_3 = 120;glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);glBegin(GL_POINTS);DDALine(x1_1, y1_1, x2_1, y2_1);glEnd();glBegin(GL_POINTS);MidpointLine(x1_2, y1_2, x2_2, y2_2);glEnd();glBegin(GL_POINTS);BresenhamLine(x1_3, y1_3, x2_3, y2_3);glEnd();glFlush(); }int main(int argc, char **argv) {glutInit(&argc, argv); //GLUT初始化glutInitDisplayMode(GLUT_RGB | GLUT_SINGLE); //指出顯示窗口使用單個緩存且使用由紅綠藍三種顏色模型glutInitWindowPosition(500, 500); //設置顯示窗口位置glutInitWindowSize(400, 400); //設置顯示窗口大小glutCreateWindow("Line Algorithm"); //設置顯示窗口的標題glutDisplayFunc(display); //將圖賦值給顯示窗口glutReshapeFunc(ChangeSize);init();glutMainLoop(); //必須是程序的最后一個return 0; }

• 最終結果
  

總結

以上是生活随笔為你收集整理的光栅图形学(一)——直线段的扫描转换算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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