CSI筆記【10】：陣列信號處理及MATLAB實現（第2版）閱讀隨筆（二）

• • Chapter3 波束形成
  • • • (1).波束形成的定義：
      • (2).波束形成的準則：
      • (3).波束形成算法：
      • • ①.自適應波束形成算法
        • ②.廣義旁瓣相消（GSC）的波束形成算法
        • ③.基于投影的波束形成算法
        • ④.基于斜投影的波束形成算法
        • ⑤.過載情況下的自適應波束形成算法—近似最小方差法波束形成算法
        • ⑥.基于高階累積量的波束形成算法
        • ⑦.基于周期平穩性的波束形成算法
        • ⑧.基于恒模的盲波束形成算法
        • ⑨.穩健自適應波束形成
  • Chapter4 DoA估計
  • • • (1).Capon算法：
      • (2).MUSIC算法：
      • (3).最大似然算法：
      • • ①.確定性最大似然法：
        • ②.隨機性最大似然法：
      • (4).子空間擬合算法：
      • (5).ESPRIT算法：
  • Reference

Chapter3 波束形成

(1).波束形成的定義：

雖然陣列天線的方向圖是全方向的，但陣列的輸出經過加權求和后，卻可以被調整到陣列接收的方向，即增益聚集在一個方向，相當于形成了一個“波束”。這就是波束形成的物理意義所在。

波束形成技術的基本思想是：通過將各陣元輸出進行加權求和，在一段時間內將天線陣列波束“導向”到一個方向，對期望信號得到最大輸出功率的導向位置，即給出波達方向估計。

(2).波束形成的準則：

由于傳統的常規波束形成法分辨率較低，這促使科研人員開始對高分辨波束形成技術進行探索，自適應波束形成算法很快就成了研究熱點。自適應波束形成在某種最有準則下通過自適應算法來實現權集尋優，它能適應各種環境的變化，實時地將權集合調整到最佳位置附近。

波束形成算法是在一定準則下綜合各輸入信息來計算最優權值的數學方法。這些準則中最重要、最常用的如下：

最大信噪比準則 $(MSNR)$：使期望信號分量功率與噪聲分量功率之比最大，但是必須知道噪聲的統計量和期望信號的波達方向。

最大信干噪聲比準則 $(MSINR)$：使期望信號功率與干擾功率及噪聲分量功率之和的比最大。

最小均方誤差準則 $(MMSE)$：在非雷達應用中，陣列協方差矩陣中通常都含有期望辛哈，基于此種情況提出了該準則。使陣列輸出與牟岐王響應的均方誤差最小，不需要知道期望信號的波達方向。

最大似然準則 $(MLH)$：在對有用信號完全先驗未知的情況下，參考信號午發設置，因此，在干擾背景下，首先要取得對有用信號的最大似然估計。

線性約束最小方差準則 $(LCMV)$：對有用信號形式和來向完全未知，在某種約束條件下使陣列輸出的方差最小。

可以證明，在理想情況下這幾種準則得到的權是等價的，且可寫成通式 ${\omega }_{opt}=R_H^{?1}a({\theta }_d)$，通常為維納解。其中，$a({\theta }_d)$ 是期望信號的方向函數，亦成約束導向向量，$R_H$ 是不含期望信號的陣列協方差矩陣。

(3).波束形成算法：

①.自適應波束形成算法

自適應研究的重點一直是自適應算法，經典的自適應波束形成算法大致可分為閉環算法（或者反饋控制方法）和開環算法（也稱直線求解方法）。一般而言，閉環算法比開環算法要簡單，實現方便，但其收斂速度受到系統穩定性要求的限制。開環算法是一種直接求解方法，不存在收斂問題，可提供更快的暫態響應性能，但同時也受到處理精度和陣列協方差矩陣求逆運算量的控制。

自適應波束形成的最佳權向量（包括“最小均方誤差（MMSE）方法”和“最小二成（LS）方法”）；

權向量更新的自適應算法；
自適應陣列的最佳權向量的確定需要求解方程，一般來說，并不希望直接求解方程，其理由如下：
①.由于移動用戶環境是時變的，所以權向量的解必須能及時更新。
②.由于估計最佳解需要的數據是含噪聲的，所以希望使用一種更新技術，它能夠利用已求出的權向量求平滑最佳響應的估計，以為=減小噪聲的影響。
因此，希望使用自適應算法周期更新權向量。

基于變換域的自適應波束形成算法；

②.廣義旁瓣相消（GSC）的波束形成算法

廣義旁瓣相消器是"LCMV"一種等效的實現結構，"GSC"結構將自適應波束形成的約束優化問題轉換為無約束的優化問題，分為自適應和非自適應兩個支路，分別稱為輔助支路和主支路，要求期望信號只能從非自適應的主支路通過，而自適應的輔助支路僅含有干擾和噪聲分量。

③.基于投影的波束形成算法

$EBS$ 波束形成算法；

$EBS$ 改進算法 $(IESB)$；

④.基于斜投影的波束形成算法

對接收信號進行斜投影可有效消除干擾，進而提高波束形成的穩健性，而且該算法在少快拍數和相干信源情況下仍具有較好的波束形成性能。

⑤.過載情況下的自適應波束形成算法—近似最小方差法波束形成算法

由于傳統的波束形成算法要求信源數小于或等于陣元數，如果信源數大于陣元數（過載的情況下），一般算法性能就會下降。而近似最小方差波束形成算法就可適用于過載情況。

⑥.基于高階累積量的波束形成算法

高階積累量包含豐富的信息，并且能有效抑制高斯噪聲、提取有用的非高斯信號。基于高階累積量的盲波束形成算法首先利用高階累積量能有效提取非高斯信號地特性，估計出期望信號的方向向量，而后在此基礎上再進行"LCMV"自適應最佳波束形成，該算法對陣列誤差具有穩健性。

⑦.基于周期平穩性的波束形成算法

高階積累量方法雖然能夠有效地提取非高斯信號，抑制高斯干擾信號，但是當干擾也是非高斯信號的時候，高階積累量方法將難以奏效，這是高階積累量盲波束形成算法本身的局限性所在。實際上，大多數人為設計的信號都是周期平穩信號，"CAB"類算法可以有效地提取期望信號，抑制相鄰信號干擾。"CAB"類盲波束形成算法首先利用期望信號的周期平穩特性估計出相應的期望信號陣列方向向量，進而利用"MVDR"算法求解最佳權向量。期望信號與干擾信號不相關，這是"CAB"類算法有效性的基礎。

$CAB$ 算法；

$C?CAB$ 算法；
基本的"CAB"算法實際上僅估計了期望信號方向向量，可以直接用來進行空域匹配濾波處理，但為了達到最佳陣處理，還需要對干擾進行有效已知。"C-CAB"算法是在"CAB"算法的基礎上采用"MVDR"算法來已知干擾的。

$R?CAB$ 算法；
在 "C-CAB"算法的基礎上采用傳統的對角線加載技術來改善與提高算法的穩健性，就是所謂的 "R-CAB"算法。

⑧.基于恒模的盲波束形成算法

隨機梯度恒模算法；
恒模信號在經歷了多徑衰落、加性干擾或其它不利因素時，會產生幅度擾動破壞信號的恒模特性，因此可以利用恒模陣波束形成器來最大程度地恢復恒模信號。

最小二乘恒模算法 $(LS?CMA)$；
最小二乘恒模算法使用了非線性最小二乘（高斯法）的推廣來設計恒模算法。

⑨.穩健自適應波束形成

自適應波束形成器對于模型誤差具有敏感性。為了降低自適應波束形成器對模型誤差的敏感程度，眾多研究者在增強自適應波束形成器的穩健性方面做了許多工作。在模型失配條件下，仍能自適應地調整波束形成器權向量以保證良好輸出性能的一類波束形成器稱為穩健自適應波束形成器。對穩健自適應波束形成器的要求是，在可容許的模型失配情況下，穩健自適應波束形成器的性能不應退化到傳統波束形成器的性能之下。

對角加載方法；
在眾多穩健的自適應波束形成方法中，對角加載是一種最常見的方法。此方法通過對 $Capon$ 最小方差問題進行正則化處理來實現，即通過對優化問題的目標函數加上一個二次型懲罰項來實現。

基于特征空間的方法；
基于特征空間的自適應波束形成算法，對于由任何原因導致的導向向量不確定性都具有很好的穩健性。此方法的關鍵是使用期望信號導向向量在信號—干擾子空間上的投影，而不是直接使用期望信號的導向向量。

貝葉斯方法；
貝葉斯方法能在陣列接收信號和波達方向的先驗信息之間實現一種平衡。在低 $SNR$ 條件下，波束形成器更依賴于波達方向的先驗信息，而在高 $SNR$ 條件下，波束形成器更依賴于陣列的接收信號。

基于最壞情況性能優化的方法；
改方法的設計目標是，在期望信號所有可能的導向向量都能無衰減地通過自適應波束形成器地基礎上，實現干擾—噪聲地輸出功率最小化。

基于概率約束的方法；
在實際應用中，最壞情況發生的概率是非常小的。因此，基于最壞情況性能優化方法設計的自適應波束形成器是非常保守的。為了使波束形成器的設計更為靈活，$Vorobyov$ 等人提出了一種基于概率約束的穩健自適應波束形成方法，其主要思想是僅讓那些發生概率充分大的導向向量無衰減地通過自適應波束形成器，而不用去滿足所有可能發生的導向向量。

Chapter4 DoA估計

陣列信號處理的另一個基本問題是空間信號"DoA"估計，也就是雷達、聲納等許多領域的重要任務之一。利用陣列天線對"DoA"估計的方法主要有"ARMA"譜分析、最大似然法、熵譜分析法和特征分解法等。

(1).Capon算法：

考慮一個由 $M$ 個傳感器構成的陣列被 $K$ 個窄帶信號源鼓勵。那么 $(M\times 1)$ 維傳感器陣列輸出向量 $x(t)$ 可用以下等式表示：
$$x(t)=As(t)+e(t)$$
其中，$s(t)$ 是在一定參考點測量的 $K\times 1$ 維源信號向量，$e(t)$ 是加性噪聲，并且
$$A=[a({\theta }_1),???,a({\theta }_K)]\in {\mathbb{C}}^{M\times K}(1)$$
在式 $(1)$ 中，${\theta }_K$ 是"DoA"估計值，$a({\theta }_K)$ 為方向向量。假設 $M>K$ 并且矩陣 $A$ 擁有滿秩 $K$，另外假設 $s(t)$ 和 $e(t)$ 為獨立零均值高斯隨機分布，并且滿足
$$\begin{gathered} E\{s(t)s^H(s)\}=P{\delta }_{t,s} \\ E\{s(t)s^T(s)\}=0 \\ E\{e(t)e^H(s)\}={\sigma }^{2}I{\delta }_{t,s} \\ E\{e(t)e^H(s)\}=0 \\ (2) \end{gathered}$$
其中，${\delta }_{t,s}$ 表示沖激函數（當 $t=s$ 時，其值為 $1$；當 $t=s$ 時，其值為 $0$）。

"Capon"算法的"DoA"估計值 ${\theta }_K$ 由以下函數取極小值時的 ${\hat{\theta }}_K$ 決定：
$$f(\theta )=a^H(\theta ){\hat{R}}^{?1}a(\theta )(3)$$
其中，$\theta$ 表示 "DoA" 變量，$\hat{R}$ 是樣本的協方差矩陣：
$$\hat{R}=\frac{1}{N}\sum _{t=1}^{N}x(t)x^H(t)$$

• $step1.$ 利用式 $\hat{R}=\frac{1}{N}{\sum }_{t=1}^{N}x(t)x^H(t)$ 計算接收信號協方差矩陣。
• $step2.$ 通過對 $1/[a^H(\theta ){\hat{R}}^{?1}a(\theta )]$ 進行譜峰搜索，找到峰值，即得到 $DoA$ 估計。這里需要注意的是，在式 $(2)$ 的假設下，陣列輸出的理論協方差矩陣可以表示為：
  $$R?E\{x(t)x^H(t)\}=AP{A}^H+{\sigma }^{2}I$$
  "Capon"算法和“線性預測（Linear Prediction，LP）”算法有一定的聯系，這種聯系對于下面的內容有重要意義，現簡要描述。假設 ${\hat{\beta }}_m$ 表示以第 $m$ 個傳感器作為參考應用“LP算法”從傳感器陣中獲得的向量數據 $({\hat{\beta }}_{m,n}=1)$，并且令 ${\hat{d}}_m$ 表示模型樣本的剩余方差。那么式 $(3)$ 也可以表示為
  $$f(\theta )=\sum _{m=1}^M\frac{|{\hat{\beta }}_m^{H}a(\theta ){|}^2}{{\hat{d}}_m}$$

"Capon"估計比"LP"估計產生的統計誤差要小。然而，和 $M$ 階 $LP$ 估計相比，"Capon"估計有低分辨率。

(2).MUSIC算法：

詳見：CSI筆記【8】：基于MUSIC Algorithm的DoA/AoA估計以及MATLAB實現.

(3).最大似然算法：

在信號處理中，最著名和最常用的建模方法是最大似然法。根據源信號（輸入序列）模型假設的不同，基于最大似然的波達方向估計方法分為"確定性最大似然（Deterministic ML, DML）"和"隨機性最大似然（Stochastic ML, SML）"法兩大類型。隨機性最大似然法也稱"統計最大似然法"。

①.確定性最大似然法：

源信號或輸入序列 $s(k)$ 假定為確定性信號，待估計的未知參數是輸入序列和信道向量，即 $\theta =\{h,\{s(k)\}\}$，雖然可能只對估計信道向量 $h$ 感興趣。在這種情況下，未知參數的維數隨觀測數據量的增多而增大。

②.隨機性最大似然法：

輸入序列 $\{s(k)\}$ 假設為一具有已知分布的隨機過程（通常假設為高斯隨機過程），而且唯一待估計的未知參數就是信道向量即 $\theta =h$。在這種情況下，未知參數的維數相對于觀測數據量是固定的。

(4).子空間擬合算法：

加權子空間你和算法，它與最大似然法有很多相通之處，具體表現為：最大似然法相當于數據（接收數據與實際信號數據）之間的你和，而加權子空間擬合則相當于子空間之間的擬合；兩者均需要通過多維搜索實現算法的求解，所以很多用于實現"ML"算法的求解過程可以直接應用到加權子空間擬合算法中。

子空間擬合問題包含兩部，即信號子空間的擬合和噪聲子空間的擬合。

(5).ESPRIT算法：

ESPRIT is short for Estimating Signal Parameter Variational Invariance Techniques (基于旋轉不變技術的信號參數估計)。

Reference

[1] 陣列信號處理及MATLAB實現（第2版）張小飛 李建峰 徐大專 等 著.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的CSI笔记【10】：阵列信号处理及MATLAB实现（第2版）阅读随笔(二)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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