Lec05 光柵化1（三角形）

文章目錄

• Lec05 光柵化1（三角形）
• • 投影變換（續）
  • 光柵化
  • • 視口變換（Viewport Transformation）
    • 光柵化設備（補充知識）
    • 三角形光柵化
    • • 采樣的概念
      • 三角形采樣
      • 采樣速度優化
      • 存在的不足

投影變換（續）

如何表示近平面的大小（l, r, b, t）和遠近平面的距離（n, f）呢？事實上，用戶只需設定四個參數：

• 垂直視錐（vertical field of view）
• 近平面寬高比（aspect ratio = width / height）
• 近平面距離 n
• 遠平面距離 f

（注意！上圖是一張3D透視圖）

由三角形關系可知，$\tan \frac{forvY}{2}=\frac{t}{n}$，$aspect=\frac{r}{t}$，又$l=?r$，$b=?t$，至此所有信息都可以通過用戶輸入信息轉化而來。

小結：MVP變換

• Medel transformation (placing objects)
• View transformation (placing camera)
• Projection transformation
  • Orthographic projection (cuboid to “canonical” cube [-1, 1]³)
  • Perspective projection (frustum to “canonical” cube)

光柵化

我們已經把三位的圖像投射到二維平面上了，接下來的任務就是要在屏幕上顯示出來。

屏幕，其實就是像素（Pixel, short for picture element）的陣列。屏幕顯示的結果與分辨率（resolution，也即像素的數量）和光柵顯示方法（raster display）有關。

光柵化（rasterize），就是控制像素的顯示，從而把圖像“繪制”到屏幕上的過程。raster在德語中正是屏幕（screen）的意思。

在本課程中，為討論方便，我們把像素簡化為顏色統一的正方形，并定義屏幕空間如下：

每個像素塊的下標用整數對(x, y)來表示。

視口變換（Viewport Transformation）

我們在MVP變換中得到一個[-1, 1]³的立方體，現在需要把這個立方體投射到屏幕上。這里先不考慮z坐標，只在xy平面內進行變換：把[-1, 1]²變換為[0, width] * [0, height].

從正則立方體到屏幕的變換正是視口變換。其變換矩陣如下：
$$M_{viewport}=?\begin{array}{cccc}\frac{width}{2}& 0& 0& \frac{width}{2}\\ 0& \frac{height}{2}& 0& \frac{height}{2}\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}?$$

光柵化設備（補充知識）

在實際的顯示設備中，每個像素并不是一塊統一的顏色，而是由RGB色塊組成的：

在屏幕上光柵化的設備，除了電腦顯示器，還有示波器（Osciliosope）、陰極射線管（Cathode Ray Tube）、電視（CRT原理，可以每次只畫奇數行/偶數行）、幀緩沖設備（調用內存里存儲的圖像）、液晶顯示屏（LCD，Liquid Crystal Display，通過液晶的排布影響光的偏振方向，從而控制光能否通過光柵）、發光二極管（LED，Light Emitting Diode）、電子墨水屏（Eletrophoretic Display，如Kindle），etc.

除此以外，也并不一定是繪制到屏幕上。如：數控精雕機（CNC Sharpie Drawing Machine）、激光切割機（Laser Cutting Machine），etc.

三角形光柵化

為什么常常使用三角形作為拆解圖形的單位？因為它有很多不錯的性質：

• 三角形是最小的多邊形，可以拆分其他多邊形
• 三角形在同一平面內的
• 三角形的內外定義清晰，可以用叉乘判斷內外
• 三角形內可以定義明確的插值方法

在經過MVP變換和視口變換之后，我們可以得到一個三角形頂點的精確坐標，接下來所要做的就是用像素近似地顯示出來。

我們將采用“采樣”的方法來實現。

采樣的概念

采樣一個函數：在離散的點上對函數進行采樣（求值），從而把連續的函數離散化（discretize）。

圖形學中采樣也有廣泛的應用：時間（1D）、區域（2D）、體積（3D），etc.

再舉個例子：在人體內任何一個位置得到其密度，也是一種三維的采樣。

三角形采樣

類似地，對三角形的采樣可以作如下解釋：

給定一個三角形，對每個像素判斷其中心是否在三角形內。

for (x=0; x<xmax; ++x)for (y=0; y<ymax; ++y)image[x][y] = inside(tri, x+0.5, y+0.5);

而判斷是否在三角形內，就要用到Lec02中叉乘的知識了：

若$P_1{P}_2\times P_{1}Q$，$P_2{P}_0\times P_{2}Q$，$P_0{P}_1\times P_{0}Q$ 同號，則Q在三角形內。

對于邊界情況（比如某個像素中心在兩個三角形的公共邊上），我們不必過多關注?？梢宰远x處理辦法：比如，如果你認為邊上的點算在三角形內，那么這個點就同時在這兩個三角形內。

采樣速度優化

為了加速采樣，我們有兩種簡單的方法：

• 包圍盒（Bounding Box）

• 遞增遍歷（Incremental Triangle Traverse），即對每一行，只采樣三角形經過的最左像素到最右像素。該方法只適用于窄長、旋轉的三角形（這種情況下包圍盒不高效）

存在的不足

這樣采樣過后，三角形并不是平滑的，而是會出現很多鋸齒。

我們將在下節課介紹反走樣技術（Antialiasing）。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【GAMES101现代计算机图形学入门笔记】Lec05 光栅化1（三角形）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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