文章目錄

• 前言
• 一、自適應波束形成的最佳權矢量
• 二、MATLAB實現
• • 1.代碼邏輯
  • 2.代碼實現
  • 3.實驗結果

---

前言

記錄陣列信號處理的學習過程。

---

一、自適應波束形成的最佳權矢量

一般來說，并不希望直接求解方程，其理由如下:①由于移動用戶環境是時變的，所以權向量的解必須能及時更新;②由于估計最佳解需要的數據是含噪聲的，所以希望使用一種更新技術，可利用已求出的權向量求平滑最佳響應的估計，以減小噪聲的影響。因此，希望使用自適應算法周期更新權向量。
實際上就是自適應濾波的工程，使得輸出不斷向期望信號收斂。這里以MMSE（最小均方誤差）為例，說明如何把他變成一種自適應算法。
1.MMSE方法
MMSE準則就是使誤差$y(k)?d(k)$的均方值最小化，即代價函數取$$J(w_q)=E[|w_q^{H}x(k)?d_q(k){|}^2]$$實際上就是數學中的問題，給了y，要去求使得y取得最小最小值的x，在一維中我們直接求導數就可以，在二維和高維中，我們利用雅可比行列式，實際上是和一元差不多。在一元函數中，我們尋找最優點往往就是先給定初始$x$，然后以一個步長往梯度的反方向步進，在這里也是一樣。
我們將上式子展開
$$J(w_q)=w^{H}E[x(k)x^H(k)]w_q?E[d_q(k)x^H(k)]w_q?w_q^{H}E[x(k)d_q^{?}(k)]+E[d_q(k)d_q^{?}(k)]$$對上式子對$w_q$求導數（矩陣求導，下次抽空了寫一下），求得
$$\frac{?}{?w_q}J(w_q)=2E[x(k)x^H(k)]w_q?2E[x(k)d_q^{?}(k)]=2R_x{w}_q?r_{xd}$$
只要求出了梯度，我們就可以迭代，一步一步沿著梯度的方向去步進。

2.LMS算法
MMSE方法可以用LMS算法實現。
考慮隨機梯度算法，其更新權矢量的一般公式為
$$w_q(k+1)=w_q(k)?\frac{1}{2}u?$$
式中$?=\frac{?}{?w_q(k)}J(w_q(k))$，$u$是收斂因子，實際上就是步長，這個步長，選長了，容易收斂不了，就一直在最優點旁邊左右移動，選短了，需要的迭代次數增加。
上面已經求出
$$?=2(E[x(k)x^H(k)]w_q(k)?E[x(k)d_q^{?}(k)])$$
但是$E[]$這個東西是個什么呢？在實際運算中，我們如何求$E$呢？實際上$E$是一個總體的特征，當樣本足夠多時，我們可以去估計它，但是我們現在要求實時更新，也就是采一次樣，那么就利用LMS算法去更新一次，現在有$E$是不可以的，LMS算法的基本思路是把數學期望用各自的瞬時值代替，即得到$k$時刻的梯度估計值如下
$$\widetilde{?}(k)=2x(k)[x^H(k)w_q(k)?d_q^{?}(k)]=?2x(k)f(k)$$實際上
$$E[\widetilde{?}]=?$$，即$\widetilde{?}$是$?$的一個無偏估計，在某些情況下，我們是可以替代的。
我們將梯度值代回權矢量的更新公式，得到了LMS算法為
$$w(k+1)=w(k+1)+ux(k)f(k)$$

算法初始化更新公式

LMS	$w_0=0$	$$\begin{gathered} y(k)=w^H(k)x(k) \\ f(k)=d(k)?y(k) \\ w(k+1)=w(k)+ux(k)f^{?}(k) \end{gathered}$$

二、MATLAB實現

1.代碼邏輯

實際上LMS實現比較簡單。
1.$k$時刻計算$y(k)=w^H(k)x(k)$
2.計算$f(k)=d(k)?y(k)$
3.更新權矢量$w(k+1)=w(k)+ux(k)f^{?}(k)$
4.進行第$k+1$次迭代

2.代碼實現

clear; clc; M = 16; thetas = [0 30 60]; lambda = 10; d = lambda /2;N = 1000; n = 0:N-1; f0 = 2000; s = [1*sin(2*pi*f0 *n/(8*f0));...2*sin(2*pi*2*f0 *n/(8*f0));...3*sin(2*pi*3*f0 *n/(8*f0))]; % 生成方向矢量 A = exp(-1i * 2 * pi * d * (0:M-1)' * sind(thetas) / lambda); St = A*s + randn(M,N); % LMS 算法 開始 進行自適應濾波 di = s(1,:); % 第一行為期望信號 u = 0.0005; w = zeros(M,1); % 初始化權重向量for k = 1:Ny(k) = w'*St(:,k);e(k) = di(k) - y(k);w = w + u * St(:,k) * conj(e(k)); end scan_theta = [-89:90]; beam = zeros(1,length(scan_theta)); for i = 1 :length(scan_theta)% 構造該方向的方向向量v = exp(-1i * 2 * pi *d* (0:M-1)'.*sind(scan_theta(i))/lambda);beam(i) = abs(w'*v); end figure; plot(scan_theta,20*log10(beam/max(beam))) title('方向圖') figure; for k = 1:Nen(k) = (abs(e(k)))^2; end semilogy(en); hold on; xlabel('迭代次數') ylabel('MSE') title('MSE')

3.實驗結果

當以0度入射的信號為期望信號時

當以30度信號為期望信號時。

可見權值都收斂到了正確的方向圖方向。

主要參考：張小飛.陣列信號處理及MATLAB實現[M].電子工業出版社

總結

以上是生活随笔為你收集整理的LMS自适应波束形成算法（MATLAB）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。