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線性規劃系列

線性規劃（一）：基本概念

線性規劃（二）：運輸問題 (產銷平衡)? & 指派問題

線性規劃（三）： 對偶理論與靈敏度分析

線性規劃（四）： 投資的收益和風險、線性規劃習題集

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目錄

1.線性規劃的概念? ? ? ?線性規劃的實例

2.線性規劃問題的解的概念 ：可行解、可行域、圖解法

2.1. 推廣到多維空間的線性規劃：超平面、多胞形、多面體

3.求解線性規劃的 Matlab 解法? ? ??例題? ? ?

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1.線性規劃的概念

線性規劃(Linear Programming 簡記 LP)是了運籌學中數學規劃的一個重要分支。自從 1947 年 G. B. Dantzig 提出 求解線性規劃的單純形法以來，線性規劃在理論上趨向成熟，在實用中由于計算機能處理成千上萬個約束條件和決策變量的線性規劃問題之后，線性規劃現代管理中經常采用的基本方法之一。?在解決實際問題時，需要把問題歸結成一個線性規劃數學模型，關鍵及難點在于選適當的決策變量建立恰當的模型，這直接影響到問題的求解。

?線性規劃問題的目標函數及約束條件均為線性函數；約束條件記為 s.t.(即 subject to)。目標函數可以是求最大值，也可以是求最小值，約束條件的不等號可以 是小于號也可以是大于號。

一般線性規劃問題的（數學）標準型為?

線性規劃的實例

?

2.線性規劃問題的解的概念 ：可行解、可行域、圖解法

可行解 ?滿足約束條件（4）的解 ?稱為線性規劃問題的可行解， 而使目標函數（3）達到最大值的可行解叫最優解。

可行域 ?所有可行解構成的集合稱為問題的可行域，記為R 。

圖解法 簡單直觀，適用于二維決策變量，它有助于了解線性規劃問題求解的基本原理。。對于每一固定的值z，使目標函數值等于z的點構成的直線稱為目標函數等位線，當z變動時，我們得到一族平行直線。

2.1. 推廣到多維空間的線性規劃：超平面、多胞形、多面體

以下結論可以推廣到一般的線性規劃問題，區別只在于空間的維數：

（1）可行域R 可能會出現多種情況。R 可能是空集也可能是非空集合，當R 非空 時，它必定是若干個半平面的交集（除非遇到空間維數的退化） 。R 既可能是有界區域， 也可能是無界區域。

（2）在R 非空時，線性規劃既可以存在有限最優解，也可以不存在有限最優解（其 目標函數值無界）。

（3）若線性規劃存在有限最優解，則必可找到具有最優目標函數值的可行域R 的 “頂點”?。

在一般的n維 空間中，滿足線性等式 ??的點集被稱為一個超平面；

???或的點集被稱為一個半空間，其中為一個n維行向量，b為一個實數。

若干個半空間的交集被稱為多胞形，有界的多胞形又被稱為多面體。易見，線性規劃的可行域必為多胞形（為統一起見，空集Φ也被視為多胞形）。 在一般n維空間中，要直接得出多胞形“頂點”概念還有一些困難。二維空間中的頂點可以看成為邊界直線的交點，但這一幾何概念的推廣在一般n維空間中的幾何意義并不十分直觀。為此，我們將采用另一途徑來定義它。?

單純形法是求解線性規劃問題的最常用、最有效的算法之一?，此處不作介紹。這里我們就不介紹 單純形法，有興趣的讀者可以參看其它線性規劃書籍。下面我們介紹線性規劃的 Matlab 解法。

3.求解線性規劃的 Matlab 解法

Matlab 中規定線性規劃的標準形式為

?

其中c和 x為n 維列向量， A、 Aeq 為適當維數的矩陣，b 、beq為適當維數的列向量。 （Aeq 對應約束條件中等式約束的系數矩陣，A為約不等式約束的系數矩陣）。

基本函數形式為 linprog(c,A,b)，它的返回值是向量 x的值。還有其它的一些函數調用形 式（在 Matlab 指令窗運行 help linprog 可以看到所有的函數調用形式），如：

[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0,OPTIONS)

這里 fval 返回目標函數的值，LB 和 UB 分別是變量 x的下界和上界， 0 x 是x的初始值， OPTIONS 是控制參數。?

例題

例如求解下列線性規劃問題?

解 （i）編寫 M 文件?

c=[2;3;-5]; a=[-2,5,-1;1,3,1]; b=[-10;12]; aeq=[1,1,1]; beq=7; x=linprog(-c,a,b,aeq,beq,zeros(3,1)) value=c'*x

?（ii）將M文件存盤，并命名為example1.m。

（iii）在Matlab指令窗運行example1即可得所求結果。?

例3 求解線性規劃問題?

解 ?編寫Matlab程序如下：?

c=[2;3;1]; a=[1,4,2;3,2,0]; b=[8;6]; [x,y]=linprog(c,-a,-b,[],[],zeros(3,1))

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線性規劃系列

線性規劃（一）：基本概念

線性規劃（二）：運輸問題 (產銷平衡)? & 指派問題

線性規劃（三）： 對偶理論與靈敏度分析

線性規劃（四）： 投資的收益和風險、線性規劃習題集

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性规划（一）：基本概念的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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