從泊松分布出發的簡單整理

泊松分布與泊松過程

泊松分布是單位時間內事件發生的次數的概率。而泊松過程是是一種累積隨機事件的發生次數的獨立增量過程。泊松分布的參數λ是單位時間(或單位面積)內隨機事件的平均發生率。 泊松分布適合于描述單位時間內隨機事件發生的次數。比如一個小時內公交站臺內通過的公交數量。是離散的量。


在泊松過程中，我們把想觀察到的事件叫做到達（Arrival）。把單位時間內到達的數量，叫做到達率（Arrival Rate）。
泊松過程需要滿足以下三個性質：

在任意單位時間長度內，到達率是穩定的。

未來的實驗結果與過去的實驗結果無關。

在極小的一段時間內，有1次到達的概率非常小，沒有到達的概率非常大。

泊松過程的核心就是，它的到達間隔序列Tn，即每兩次發生的時間是服從的獨立同指數分布的。

泊松分布與指數分布

指數分布分布函數如下：



指數分布的公式可以從泊松分布推斷出來。如果下一個事件發生要間隔時間 t ，就等同于 t 之內沒有任何此類事件發生。

反過來，事件在時間 t 之內發生的概率，就是1減去上面的值

注意：泊松分布是單位時間內獨立事件發生次數的概率分布，指數分布是獨立事件的時間間隔的概率分布。

請注意是"獨立事件"，泊松分布和指數分布的前提是，事件之間不能有關聯，否則就不能運用上面的公式。

與伽馬分布的關系

指數分布解決的問題是“要等到一個隨機事件發生，需要經歷多久時間”
伽瑪分布解決的問題是“要等到n個隨機事件都發生，需要經歷多久時間”
泊松分布解決的是“在特定時間里發生n個事件的機率”。

伽瑪分布可以看作是n個指數分布的獨立隨機變量的加總。

參考：https://www.jianshu.com/p/6ee90ba47b4a

二項分布和泊松分布

n很大，p很小時泊松分布可以用來近似二項分布，此時 λ=np

二者關系的直觀解釋：

從泊松分布說起。把單位時間分成n等分，稱為n個時間窗口。那么在某個時間窗口發生一個事件的概率為λ/n.那么我們可以將泊松分布和二項分布對應起來：在某個時間窗口里發生事件， 對應拋出正面硬幣；發生k次事件，對應拋出k個正面。因此，泊松分布和二項分布近似了。

問題：為什么n要足夠大，p要足夠小？

因為在分時間窗口的時候有個假設：每個時間窗口最多只有一次事件發生。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的泊松分布以及相关分布的知识整理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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