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圖論1：哥尼斯堡七橋問題的證明

結(jié)論的證明

很久很久以前，有個大名鼎鼎的地方，叫哥你是寶哥尼斯堡。。

哥尼斯堡有一條河，河里有兩座小島，兩座小島和周邊的陸地總共有七座橋連接起來。這里風(fēng)景優(yōu)美，空氣新鮮，以至于很多市民都喜歡來這邊旅游觀光。

Figure 1. 風(fēng)景優(yōu)美，空氣新鮮的哥尼斯堡七橋

?【NOTE】

紅色方框表示橋，黑色方框表示陸地。

慢慢的，樂于游玩的市民們就想到一個問題： 有沒有一種辦法，可以從任意一個地方出發(fā)，然后恰巧每個橋只經(jīng)過一次，觀賞完所有風(fēng)景之后又回到起點(diǎn)呢？

市民們使用了各種方式：

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Figure 2. 這樣的 Figure 3. 這樣的 Figure 4. 這樣的

……

但不管怎么樣都做不到。。

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于是有人把這個問題寫了封信，寄給了當(dāng)時大名鼎鼎的數(shù)學(xué)家歐拉，

致敬歐拉大師

歐拉花了一年時間，最終證明了這個問題是無解的！

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那么怎么去證明這個問題無解嘞？

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歐拉大師先把地圖模型簡化成這樣的二維模型：

Figure 5. 風(fēng)景優(yōu)美，空氣新鮮的哥尼斯堡七橋

【NOTE】?

紅色方框表示橋，黑色方框表示陸地。這地方漂亮極了。

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于是簡化成了四個點(diǎn)、七條邊，如何證明一個圖形，從任意一點(diǎn)出發(fā)，每條邊僅經(jīng)過一次，最終又回到起點(diǎn)呢？

這個問題還是有點(diǎn)復(fù)雜，我們再對問題做一次簡化，把七條邊簡化成一條，把四個點(diǎn)簡化成一個點(diǎn)，那么得到如下模型：

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Figure 6. 簡化版的陸地和橋

這……這不就是一個圓嘛！！

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我們給圖里的圓下一個定義：

從一個點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過若干條邊和點(diǎn)之后，最終能夠回到原點(diǎn)，整個經(jīng)過的路徑我們稱之為圓。

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所以，七橋問題其實(shí)等同于畫圓問題！

不管有幾個頂點(diǎn)，也不管有幾條邊，從一點(diǎn)出發(fā)最終回到該點(diǎn)，本質(zhì)上就是畫圓。

所以對于上述證明問題，本質(zhì)上就是求解能否在圖形上構(gòu)造出一個圓。

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對“簡化版的陸地和橋”做一層抽象，其實(shí)圖中只具備兩個元素：

A島：連接著X橋。

X橋：首尾兩端都連接著A島。

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歐拉大師略加思索，得出一個結(jié)論，在最簡單的情況下，從能夠從A點(diǎn)畫圓的充要條件為：A點(diǎn)必須具備一個出口，同時也必須具備一個入口。

然后我們可以引入一個概念，將點(diǎn)A的入口/出口的數(shù)量統(tǒng)稱為點(diǎn)A的?度?。

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讓我們再做一次擴(kuò)展，為A島再建造一座橋：

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Figure 7. 稍微復(fù)雜一點(diǎn)的陸地和橋

路線不管是 A → X → A → Y → A 還是 A → Y → A → X → A，依然可以回到原點(diǎn)。

A島：連接著X橋。

X橋：首尾兩端都連接著A島。

Y橋：首尾兩端都連接著A島。

此時，A島具備了兩個入口和兩個出口（4個度）。

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之后，我們還可以再建造第三座橋、第四座橋，但不管建造幾座橋，A點(diǎn)的出口數(shù)量必須等于入口的數(shù)量（即A點(diǎn)的 度 必須是偶數(shù)），否則就無法畫圓：?

Figure 8. 只有出口或只有入口的A島

然后我們再回過頭來看我們的“七橋”。

Figure 9. 風(fēng)景優(yōu)美、空氣新鮮的七橋

其中，A、C、D點(diǎn)的度為3，B點(diǎn)的度為5，都是奇數(shù)，這就意味著它沒有能夠畫圓的起點(diǎn)/終點(diǎn)。

所以歐拉大師得到結(jié)論：該問題無解！

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歐拉的回路

但歐拉也不愧是數(shù)學(xué)界的大師，因?yàn)樗]有止步于證明七橋問題無解。

他往前又做了更深一層的思考：

七橋問題既然是無解的，那么什么情況下才能使問題有解呢？

要從一個點(diǎn)出發(fā)，最終又能回到同一點(diǎn)的必要條件，是起點(diǎn)的度必須大于0且為偶數(shù)。

而其它的點(diǎn)因?yàn)椴皇瞧瘘c(diǎn)也不是終點(diǎn)，所以不能停留，一旦進(jìn)入則必須走出去，所以它們的度也必須大于0且為偶數(shù)。

最后，為了經(jīng)過所有的頂點(diǎn)和邊，還必須保證所有的頂點(diǎn)的邊是聯(lián)通的，否則無法在圖中只構(gòu)造出一個圓。

簡而言之就是兩個條件： 1. 所有頂點(diǎn)的度都必須是偶數(shù)。 2. 所有的頂點(diǎn)和邊都能夠聯(lián)通。

我們隨便畫一個圖驗(yàn)證一下：

Figure 1. 五角星

所有點(diǎn)的度都是偶數(shù)，所以任意一點(diǎn)出發(fā)都能回到原點(diǎn)。

C → A → B → D → E → F → G → H → I → J → C → B → E → G → I → C

還有很多其它路徑，咱們就不一一解釋啦。

其實(shí)這也很符合一個畫圓的規(guī)律：在已知的圓上任取一點(diǎn)，都可以沿著路徑畫出同樣一個完整的圓。

后來，人們把符合上述條件的路徑，稱為?歐拉回路。

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歐拉的路徑

歐拉大師畫完圓了之后，感覺還不得勁，這問題太簡單了。

能不能不回到起點(diǎn)，然后又能一條路走完全場呢？

依然按照之前的思路：

如果不想回到起點(diǎn)，那么起點(diǎn)必須具備的條件為：只能有奇數(shù)個度。

終點(diǎn)因?yàn)橹辽傩枰淮芜M(jìn)入了之后再也不會出去，也必須具備一個條件：只能有奇數(shù)個度。

而其它的點(diǎn)因?yàn)椴皇瞧瘘c(diǎn)也不是終點(diǎn)，所以不能停留，一旦進(jìn)入則必須走出去，所以它們的度也必須大于0且為偶數(shù)。

簡而言之也是兩個條件： 1. 只能有兩個頂點(diǎn)的讀為奇數(shù)，其他頂點(diǎn)的度必須大于0且為偶數(shù)。 2. 所有的頂點(diǎn)和邊都能夠聯(lián)通。

我們再隨便畫個圖驗(yàn)證一下：

Figure 2. 加了一筆的五角星

其中只有I和B兩個點(diǎn)的度為奇數(shù)，因此只能從這兩個點(diǎn)出發(fā)：

E → C → …… → C（參考沒加一筆的五角星的路徑）

就這么簡單。

后來，人們把符合上述條件的路徑，稱之為歐拉路徑。

這，就是哥尼斯堡七橋的故事。

歐拉大師也因此成為了最早的圖論的研究者之一。

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本節(jié)涉及到的概念：

圖：

文字表述：包含若干個頂點(diǎn)和若干條邊的集合。

數(shù)學(xué)表述：圖G是一個有序二元組(V,E)，其中V稱為頂集(Vertices Set)，E稱為邊集(Edges set)，E與V不相交。它們亦可寫成V(G)和E(G)。

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自環(huán)（Loop）：若一條邊的兩個頂點(diǎn)為同一頂點(diǎn)，則此邊稱作自環(huán)。

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度：一個頂點(diǎn)的度是指與該頂點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的邊的條數(shù)，頂點(diǎn)v的度記作d(v)。自環(huán)邊由于既是入度又是出度，因此度為2。

入度：指頂點(diǎn)與其關(guān)聯(lián)的各邊之中，以其為終點(diǎn)的邊數(shù)。

出度：指頂點(diǎn)與其關(guān)聯(lián)的各邊之中，以其為起點(diǎn)的邊數(shù)。

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總結(jié)

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