題目來源：PTA 數據結構與算法題目集（中文）

哥尼斯堡是位于普累格河上的一座城市，它包含兩個島嶼及連接它們的七座橋，如下圖所示。

可否走過這樣的七座橋，而且每橋只走過一次？瑞士數學家歐拉(Leonhard Euler，1707—1783)最終解決了這個問題，并由此創立了拓撲學。

這個問題如今可以描述為判斷歐拉回路是否存在的問題。歐拉回路是指不令筆離開紙面，可畫過圖中每條邊僅一次，且可以回到起點的一條回路。現給定一個無向圖，問是否存在歐拉回路？

輸入格式:

輸入第一行給出兩個正整數，分別是節點數N (1≤N≤1000)和邊數M；隨后的M行對應M條邊，每行給出一對正整數，分別是該條邊直接連通的兩個節點的編號（節點從1到N編號）。

輸出格式:

若歐拉回路存在則輸出1，否則輸出0。

輸入樣例1:

6 10 1 2 2 3 3 1 4 5 5 6 6 4 1 4 1 6 3 4 3 6

輸出樣例1:

1

輸入樣例2:

5 8 1 2 1 3 2 3 2 4 2 5 5 3 5 4 3 4

輸出樣例2:

0

思路：

1. 無向圖是歐拉圖（存在歐拉回路）當且僅當該圖是連通的且沒有奇度頂點；無向圖是半歐拉圖（存在歐拉通路）當且僅當該圖是連通的且恰有兩個奇度頂點；

??? 有向圖是歐拉圖（存在歐拉回路）當且僅當該圖是強連通的且每個頂點入度等于出度；有向圖是半歐拉圖（存在歐拉通路）當且僅當該圖是單向連通的且恰有兩個奇度頂點；

2. 本題中首先需要判斷該圖是否連通圖，若是連通圖則再判斷是否有無奇度頂點；

3. 使用并查集來判斷該圖是否為連通圖，設置一個數組ab，每個元素初始化為對應下標（每個元素的根結點為自己），每輸入一條邊，便在數組ab中尋找邊的頂點a和b（a<b）的根結點fa和fb，若fa和fb不相等（沒有在一個連通分支里），則把fb指向fa（fa作fb的根結點）；

4. 使用一個數組v，每個元素初始化0，每輸入一條邊，便在數組v中增加對應頂點a和b和度數；

5. 找出每個頂點在并查集數組ab中的根結點，并判斷是否都相等，相等則為連通圖；

6. 根據數組v判斷每個頂點的度數是否為偶數；全為偶數則是歐拉圖（前提是5成立）；

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//7-32 哥尼斯堡的“七橋問題” #include <iostream> using namespace std; #include <algorithm> #include <vector> #include <set> #define N 1005int ab[N],n; //ab為并查集數組int find(int x) //尋找x的根結點 {if(x==ab[x]) return x;return ab[x]=find(ab[x]);}bool liantong() //判斷是否為連通圖 {set <int> se;for(int i=1;i<=n&&se.size()<=1;i++)se.insert(find(i));if(se.size()==1)return true;return false;}bool degreeOK(vector<int> v) //判斷連通無向圖是否為歐拉圖 {for(int i=1;i<=n;i++)if(v[i]%2!=0)return false;return true;} int main() {int m,i,a,b;cin>>n>>m;vector<int> v(n+1,0); //統計度數for(i=1;i<=n;i++) //初始化并查集數組ab[i]=i;for(i=0;i<m;i++){cin>>a>>b;if(a>b)swap(a,b); //避免互相指向（循環指向）產生多個根節點，對所有節點都是大的指向小的v[a]++;v[b]++;int fa=ab[a]; //找出a的跟節點faint fb=ab[b]; //找出b的跟節點fbif(fa!=fb)ab[fb]=fa; //合并，fb指向fa,大的指向小的}if(liantong()&&degreeOK(v)) //連通且無奇度頂點cout<<1<<endl;elsecout<<0<<endl;return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的7-32 哥尼斯堡的“七桥问题”的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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