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? ? ? ?第四十一章~四十二章：荷蘭國旗問題、矩陣相乘之Strassen算法

前言

? ? 本文要講的兩個問題：荷蘭國旗和矩陣相乘之Strassen算法都跟分治法相關，故把這兩個問題放到了一起。所謂分治，便是分而治之的意思，好比打戰時面對敵人龐大的武裝部隊，采取避其主力，各個擊破的策略。

? ? 有何問題，歡迎隨時不吝指正，thanks。

第十一章、荷蘭國旗問題

題目描述

現有紅白藍三個不同顏色的小球，亂序排列在一起，請重新排列這些小球，使得紅白藍三色的同顏色的球在一起。這個問題之所以叫荷蘭國旗，是因為我們可以將紅白藍三色小球想象成條狀物，有序排列后正好組成荷蘭國旗。如下圖所示：

????

思路分析

? ? 初看此題，我們貌似除了暴力解決并無好的辦法，但聯想到我們所熟知的快速排序算法呢？我們知道，快速排序時基于分治模式處理的，對一個典型子數組A[p...r]排序的分治過程為三個步驟：

分解：A[p..r]被劃分為倆個（可能空）的子數組A[p ..q-1]和A[q+1 ..r]，使得A[p ..q-1] <= A[q] <= A[q+1 ..r]

.解決：通過遞歸調用快速排序，對子數組A[p ..q-1]和A[q+1 ..r]排序。

合并。

? ? 也就是說，快速排序的主要思想便是依托于一個partition分治過程，每一趟排序的過程中，選取的主元都會把整個數組排列成一大一小的序列，繼而遞歸排序完整個數組。

? ? 如下偽代碼所示：

快速排序算法的關鍵是PARTITION過程，它對A[p..r]進行就地重排：
PARTITION(A, p, r)
1? x ← A[r]
2? i ← p - 1
3? for j ← p to r - 1
4?????? do if A[j] ≤ x
5???????????? then i ← i + 1
6????????????????? exchange A[i] <-> A[j]
7? exchange A[i + 1] <-> A[r]
8? return i + 1

繼而遞歸完成整個排序過程：

QUICKSORT(A, p, r)
1 if p < r
2??? then q ← PARTITION(A, p, r)?? //關鍵
3???????? QUICKSORT(A, p, q - 1)
4???????? QUICKSORT(A, q + 1, r)

舉個例子如下：i 指向數組頭部前一個位置，j 指向數組頭部元素，j 在前，i 在后，雙雙從左向右移動。

① j 指向元素2時，i 也指向元素2，2與2互換不變
? ? ?i p/j
? ?2 ? 8 ? 7 ? 1 ? 3 ? 5 ? 6 ? 4(主元)

② 于是j 繼續后移，直到指向了1，1 <= 4，于是i++，i 指向8，故j 所指元素1 與 i 所指元素8 位置互換：
? ? ??? ? ? i ? ? ? ? j
? ?2 ? 1 ? 7 ? 8 ? 3 ? 5 ? 6 ? 4

③ j 繼續后移，指到了元素3,3 <= 4，于是同樣i++，i 指向7，故j 所指元素3 與 i 所指元素7 位置互換：
? ? ?? ? ? ? ? ?i ? ? ? ? j
? ?2 ? 1 ? 3 ? 8 ? 7 ? 5 ? 6 ? 4

④ j 一路后移，沒有再碰到比主元4小的元素：
? ???? i ? ? ? ? ? ? ? ? ? j
? ?2 ? 1 ? 3 ? 8 ? 7 ? 5 ? 6 ? 4

⑤ 最后，A[i + 1] <-> A[r]，即8與4交換，所以，數組最終變成了如下形式：
? ? ? ? 2 ? 1 ? 3 ? 4 ? 7 ? 5 ? 6 ? 8

ok，至此快速排序第一趟完成。就這樣，4把整個數組分成了倆部分，2 1 3,7 5 6 8，再遞歸對這倆部分分別進行排序。

全部過程可以參看此文：快速排序算法，或看下我以前在學校里畫的圖：

? ? 而我們面對的問題是，重新排列使得所有球排列成三個不同顏色的球，是否可以設定三個指針，借鑒partition過程呢？

解法一、partition分治

? ? 通過前面的分析得知，這個問題，類似快排中partition過程。只是需要用到三個指針，一前begin，一中current，一后end，倆倆交換。

current遍歷，整個數組序列，current指1不動，

current指0，與begin交換，而后current++，begin++，

current指2，與end交換，而后，current不動，end--。

??? 為什么，第三步，current指2，與end交換之后，current不動了列，對的，正如algorithm__所說：current之所以與begin交換后，current++、begin++，是因為此無后顧之憂。而current與end交換后，current不動，end--，是因有后顧之憂。

? ? 讀者可以試想，你最終的目的無非就是為了讓0、1、2有序排列，試想，如果第三步，current與end交換之前，萬一end之前指的是0，而current交換之后，current此刻指的是0了，此時，current能動么？不能動啊，指的是0，還得與begin交換列。

??? ok，說這么多，你可能不甚明了，直接引用下gnuhpc的圖，就一目了然了：

????

????

? ? 參考代碼如下：

//引用自gnuhpcwhile( current<=end )????? {?????????? ? if( array[current] ==0 )?????????? ?? {?????????????? ????? swap(array[current],array[begin]);??????????????? ????? current++;??????????????? ????? begin++;????????? ?? }?????????? ?? else if( array[current] == 1 )????????? ?? {?????????????? ????? current++;????????? ?? } ????????? ?? else //When array[current] =2 ?? {???????????? ????? swap(array[current],array[end]);????????????? ????? end--;????????? ?? }??? }

? ? 本章完。

第四十二章：矩陣相乘之Strassen算法

題目描述

? ? 請編程實現矩陣乘法，并考慮當矩陣規模較大時的優化方法。

思路分析

? ? 根據wikipedia上的介紹：兩個矩陣的乘法僅當第一個矩陣B的列數和另一個矩陣A的行數相等時才能定義。如A是m×n矩陣和B是n×p矩陣，它們的乘積AB是一個m×p矩陣，它的一個元素其中?1?≤?i?≤?m,?1?≤?j?≤?p。

? ??

? ? 值得一提的是，矩陣乘法滿足結合律和分配率，但并不滿足交換律，如下圖所示的這個例子，兩個矩陣交換相乘后，結果變了：

? ? ?下面咱們來具體解決這個矩陣相乘的問題。

解法一、暴力解法

? ? 其實，通過前面的分析，我們已經很明顯的看出，兩個具有相同維數的矩陣相乘，其復雜度為O（n^3），參考代碼如下：

//矩陣乘法，3個for循環搞定? void Mul(int** matrixA, int** matrixB, int** matrixC)? {? ?for(int i = 0; i < 2; ++i)?? ?{? ??for(int j = 0; j < 2; ++j)?? ??{? ???matrixC[i][j] = 0;? ???for(int k = 0; k < 2; ++k)?? ???{? ????matrixC[i][j] += matrixA[i][k] * matrixB[k][j];? ???}? ??}? ?}? }

解法二、Strassen算法

? ? 在解法一中，我們用了3個for循環搞定矩陣乘法，但當兩個矩陣的維度變得很大時，O（n^3）的時間復雜度將會變得很大，于是，我們需要找到一種更優的解法。

? ? 一般說來，當數據量一大時，我們往往會把大的數據分割成小的數據，各個分別處理。遵此思路，如果丟給我們一個很大的兩個矩陣呢，是否可以考慮分治的方法循序漸進處理各個小矩陣的相乘，因為我們知道一個矩陣是可以分成更多小的矩陣的。

? ? 如下圖，當給定一個兩個二維矩陣A B時：

? ? 這兩個矩陣A B相乘時，我們發現在相乘的過程中，有8次乘法運算，4次加法運算：

? ? 矩陣乘法的復雜度主要就是體現在相乘上，而多一兩次的加法并不會讓復雜度上升太多。故此，我們思考，是否可以讓矩陣乘法的運算過程中乘法的運算次數減少，從而達到降低矩陣乘法的復雜度呢？答案是肯定的。

? ? 1969年，德國的一位數學家Strassen證明O（N^3）的解法并不是矩陣乘法的最優算法，他做了一系列工作使得最終的時間復雜度降低到了O(n^2.80)。

? ? 他是怎么做到的呢？還是用上文A B兩個矩陣相乘的例子，他定義了7個變量：

? ? 如此，Strassen算法的流程如下：

• 兩個矩陣A B相乘時，將A, B, C分成相等大小的方塊矩陣：

；

• 可以看出C是這么得來的：

• 現在定義7個新矩陣（讀者可以思考下，這7個新矩陣是如何想到的）：

• 而最后的結果矩陣C 可以通過組合上述7個新矩陣得到：

? ? 表面上看，Strassen算法僅僅比通用矩陣相乘算法好一點，因為通用矩陣相乘算法時間復雜度是，而Strassen算法復雜度只是。但隨著n的變大，比如當n >> 100時，Strassen算法是比通用矩陣相乘算法變得更有效率。

? ? 如下圖所示：

解法三、持續優化

? ? 根據wikipedia上的介紹，后來，Coppersmith–Winograd 算法把 N* N大小的矩陣乘法的時間復雜度降低到了：，而2010年，Andrew Stothers再度把復雜度降低到了，一年后的2011年，Virginia Williams把復雜度最終定格為：

參考文獻

快速排序算法：http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/6116297；

快速排序算法的深入分析：http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/6211155；

gnuhpc：http://blog.csdn.net/gnuhpc/article/details/6207285；

wikipedia上關于Strassen算法的介紹：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%96%BD%E7%89%B9%E6%8B%89%E6%A3%AE%E6%BC%94%E7%AE%97%E6%B3%95；

第42章部分圖來自此文“ Computer Algorithms: Strassen's Matrix Multiplication” ：http://www.stoimen.com/blog/2012/11/26/computer-algorithms-strassens-matrix-multiplication/；

上文的翻譯版，來自圖靈社區：http://www.ituring.com.cn/article/17978；

Coppersmith–Winograd 算法：?http://en.wikipedia.org/wiki/Coppersmith%E2%80%93Winograd_algorithm；

后記

? ? 編程藝術原計劃寫到第五十章，如今只剩下最后八章，感謝各位一直以來的關注。預祝本博客所有的讀者新春快樂，在馬年一切都能心想事成，thanks。

? ? July、二零一四年一月二十八日。

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張三李四王五你好！李四, 最近怎么樣?你最近怎么樣，王五？我很好，謝謝!我很好，謝謝!李四想了很長時間,文字太長了不適合放在一行.打量著王五...很好... 王五, 你怎么樣?張三李四王五

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總結

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