這篇文章是我尋找眾多博客總結歸納的，還有找到的部分經典例題，相信看完的你一定會有新的感悟！加油！

一、一維前綴和

一維的前綴和數組sum[ i ]就是存的是 前i個數的總和 。
那么x到y區間的總和就是 sum[ y ] - sum[ x ]

應用：

1、求一個數前面的所有數的和：遞推；

2、求較多區間( l , r )之間的數的和：求前綴和之后 ans=a[r]-a[l-1];

例：HJ澆花、color the ball;

3、多組數據，每組數據都用同一總數組來操作，如果一組數據一組數據遍歷的話很容易超時，那么可以將那個總數組答案化(即，將該數組修改成接下來的每組數據需要的數)，接著按輸入找數組就行了。

例：Olympiad；

4、將兩種不同的物品分離，求最少的操作次數：一種物品從前面取前綴和，另一種從后面取“后綴和”，遍歷所有點，總個數去掉兩個數組里數即為不符合的需要改動的個數。

例：戰馬列隊；

二、二維前綴和

二維的前綴和如sum[ i ][ j ]是指 (i,j)點的左上角的矩陣(從（1，1）開始)的各數總和。

求二維前綴和的方法：

a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1];

以下是對該式子的解釋：

如圖：圖一點（i，j）的意義：紅色區域的面積；假設其周圍的數已求出前綴和，那么（i,j-1）點就是圖二黃色區域的面積，（i-1,j）就是圖三藍色區域的面積。那（i,j）的求法是圖一整個紅色區域去點黃色和藍色區域？不，多加了綠色區域，還要去掉綠色區域；
即：a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1];

應用：可以快速的求出矩陣中任何一個子矩陣的和，如：
1、求長為l且右下角頂點為(i,j)的正方形面積：

sum[i][j] - sum[i][j-l] - sum[i-l][j] + sum[i-l][j-l]。

2、求左上角為（x1,y1），右下角為（x2,y2）的矩形的面積：

sum[x2,y2]-sum[x1-1][y2]-sum[x2][y1-1]+sum[x1-1][y1-1];

前提：矩陣中的所有的數已求前綴和；
我們要算的是 D區域 (以（x1,y1）為左上角，（x2,y2）為右下角的矩形) 的面積,那么sum[x2,y2]-sum[x1-1][y2]-sum[x2][y1-1]+sum[x1-1][y1-1]即總的面積去掉A+B的面積去掉A+C的面積，多減了一個A的面積，再加上。

例：激光炸彈，最大正方形，Conturbatio。

三、一維差分

可以簡單理解為：“相鄰兩個數之差”；
差分就是數組b對于數組a有b[ i ] = a[ i ] - a[ i-1 ]（2 <= i <= n），b就是a的差分。
性質：差分的前綴和是原數組，前綴和的差分也是原數組(差分是前綴和的逆狀態；
應用：給定多個區間，將區間里的所有數相加或相減一個數。如果挨個區間遍歷的話，很可能超時，那么可以用差分：
例如 將區間（l,r）中的所有的數+1，將所有數差分后，a[l]++,a[r+1]--; 再求前綴和即為變換后的區間；

例：fancy的區間、最高的牛、增減序列；

四、二維差分

根據二維前綴和表示的是右上角矩形的和，由于差分只涉及前面相鄰的數（由一維可以推出），并且由前面范圍的數相加得到這個位置的數。那么類比二維前綴和和一維差分，可以簡單推測出二維差分的公式:

f[i][[j]=a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1];

(二維差分就是二維前綴和的逆運算，所以與正好二維前綴和公式相反。)

性質：

二位前綴和通過二維差分后變換成原數組；

二維差分通過二維前綴和后也會變成原數組；

如何從差分矩陣得到原矩陣呢？
a[i][j]=f[i][j]+f[i-1][j]+f[i][j-1]-f[i-1][j-1]; (即前綴和公式);
應用：將所給矩形中的所有的數加上一個數或減掉一個數。
例：將以（x1,y1）為左上角，以（x2,y2）為右下角的矩形中的所有的數+c：

f[x1][y1]+=c; f[x1][y2+1]-=c; f[x2+1][y1]-=c; f[x2+1][y2+1]+=c;

再將二維數組求前綴和即得到變換后的數組；
對上述公式的解釋：

前提：數組已二維差分；

如圖：我們的目的是將圖一紫色矩形中的所有數字+c，在一維差分中，區間中的數加減只需對邊界操作，二維差分也是如此。
只是將點（x1,y1）+c后會影響到全部的區域（即圖二黃色區域，原因：之后要取前綴和），為了消除影響，則要（x1,y2+1）-c,(即圖三藍色區域),（x2+1,y1）-c(即圖四藍色區域)，會發現有重復部分，去掉重復：（x2+1,y2+1）+c;

模板：二維差分模板——差分矩陣；

例題：方格稿紙

參考來源：
https://blog.csdn.net/Zeolim/article/details/86770827
https://blog.csdn.net/mrcrack/article/details/99701435
https://blog.csdn.net/justidle/article/details/104506724

本蒻第一次寫博客hh，肯定有不足的地方，歡迎各位大佬前來指正！

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的前缀和差分 精讲（一维、二维、附例题！）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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