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3 數值導數

根據導數的定義，當函數的定義域不連續時，其不連續處顯然是不存在導數的，但圖形可以“欺騙”我們的眼睛。

> x = seq(-1,1,0.1) > y = sin(x) > y1 = cos(x) > xEnd = x+0.1 > yEnd = y+y1*0.1 > plot(x,y) > for(i in seq_along(x)){ + lines(c(x[i],xEnd[i]),c(y[i],yEnd[i]),col="red") + }

上圖中，圓圈是對$y=\sin x$進行抽樣的結果，可以理解為是一個不連續的函數；紅線則是在每一個分立的點上，$\sin x$在該點的切線。這兩者看上去如此一致，說明連續函數的導數在抽樣之后仍然具備一定的數學意義。

相應地，不連續的函數，也應該有類似于導數一樣的存在，從而與連續函數的導數相對應，此即數值導數。如果回顧導數的定義

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)?f(x_0)}{\Delta x}$$

當$\Delta x\nrightarrow 0$時，即可理解為數值導數。

假設現在對某個函數$f(x)$進行等間隔抽樣，間隔為$h$，則其第$n$個點處的數值導數為

$$f[x_n]=\frac{f(x_{n+1})?f(x_n)}{x_{n+1}?x_n}=\frac{f(x_n+h)?f(x_n)}{h}$$

由于一般稱$f(x_{n+1})?f(x_n)$為差分，則數值導數是$f(x)$的差分與$x$的差分的商，所以也叫差商。

仍以$\sin x$為例，假設在$[?5,5]$區間內分別以0.1，0.5，1為間隔，算其差商，然后和其導數$\cos x$相對比。

x = seq(-5,5,0.1) y = cos(x) x1 = seq(-5,5,0.1) end = length(x1) y1 = (sin(x1[2:end])-sin(x1[1:end-1]))/0.1 x5 = seq(-5,5,0.5) end = length(x5) y5 = (sin(x5[2:end])-sin(x5[1:end-1]))/0.5 x10 = seq(-5,5,1) end = length(x10) y10 = (sin(x10[2:end])-sin(x10[1:end-1]))/0.5 plot(x,y,type="l",col="red") lines(x1[2:length(x1)],y1) lines(x5[2:length(x5)],y5) lines(x10[2:length(x10)],y10)

如圖所示

由于我們采用的是后向差分，所以三組差商的值整體右移。此外，隨著$h$的增大，其誤差也越來越明顯。

對一個函數進行反復求導，即可得到高階導數，可以用數學歸納法的方式記為

$$\begin{array}{rl}{f}^{(n)}(x)& =\{f^{(n?1)}(x){\}}^{\prime }\\ f^{(1)}(x)& =f^{\prime }(x)\end{array}$$

差商亦然，可以記為

$$\begin{array}{rl}{f}^{(n)}[x]& =\{f^{(n?1)}[x]{\}}^{\prime }\\ f^{(1)}[x]& =f[x]\end{array}$$

但與導數不同之處在于，差商可以更加方便地進行遞推，例如

$$\begin{array}{rl}{f}^{(2)}[x]& =\frac{f[x+h]?f[x]}{h}\\ & =\frac{\frac{f[x+2h]?f[x+h]}{h}?\frac{f[x+h]?f[x]}{h}}{h}\\ & =\frac{f[x+2h]?2f[x+h]+f[x]}{h^2}\end{array}$$

總結

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