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假幣問題

在八枚外觀相同的硬幣中，有一枚是假幣，并且已知假幣與真幣的重量不同，但不知道假幣與真幣相比較輕還是較重。可以通過一架天平來任意比較兩組硬幣，設計一個高效的算法來檢測出這枚假幣。

我們先假設一個條件：已知假幣比真幣輕

二分查找算法實現：時間復雜度(O(log(以2為底n的對數)))

思路：把n枚硬幣分成兩堆，每堆有枚硬幣，如果n為奇數的話，就留下一枚額外的硬幣，然后把兩堆硬幣放在天平上。如果兩堆硬幣重量相同，那么放在旁邊的硬幣就是假幣；否則我們可以用同樣的方式對較輕的一堆硬幣進行處理，這堆硬幣中一定包含那枚假幣。注意，即使我們把硬幣分成了兩個子集，但在每次稱重之后，我們只需要解決一個規模為原來一半的問題。所以這是一個減治算法而不是一個分治算法。

public class Main {static int[] a = {2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2};public static void main(String[] args) {int l = 0;int r = a.length-1;System.out.println(f2(l, r));}private static int f2(int l, int r) {int n = r - l + 1;int mid = (l+r) / 2;if(n == 1) {return l;}/*** n為總個數，mid為中值* n為偶數，則將n枚硬幣分成兩堆數量相等的硬幣，對輕的一堆迭代稱重* n為奇數，留下一枚硬幣，對n-1枚硬幣按偶數繼續操作* */if (n % 2 == 0) {if (sum(l, mid) == sum(mid+1, r)) {return l - 1;} else if (sum(l, mid) < sum(mid+1, r)){return f2(l, mid);} else {return f2(mid+1, r);}} else {return f2(l+1, r);}}/*** 獲取指定區域內硬幣的重量* */private static int sum(int l, int r) {int sum = 0;for (int i = l; i <= r; i++) {sum += a[i];}return sum;} }

三分查找算法實現：時間復雜度(O(log(以3為底n的對數)))
思路：將n枚硬幣分成三組，前兩組有組硬幣，其余的硬幣作為第三組，將前兩組硬幣放到天平上，如果它們的重量相同，則假幣一定在第三組中，用同樣的方法對第三組進行處理；如果前兩組的重量不同，則假幣一定在較輕的那一組中，用同樣的方法對較輕的那組硬幣進行處理。這也是一個減治算法。

public class Main {static int[] a = {2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2};public static void main(String[] args) {int l = 0;int r = a.length-1;System.out.println(f3(l, r));}private static int f3(int l, int r) {int n = r - l + 1;int x;if(n == 1) {return l;}/*** n為總個數* 將n分成n/3, n/3, n-2(n/3)三堆硬幣* 對前兩堆稱重，相等則對第三堆繼續操作，不相等則對輕的一堆繼續操作* */if (n % 3 == 0) {x = n / 3;} else {x = n / 3 + 1;return f3(l+1, r);}int mid1 = l + x - 1;int mid2 = mid1 + x;if (sum(l, mid1) == sum(mid1+1, mid2)) {return f3(mid2+1, r);} else if (sum(l, mid1) < sum(mid1+1, mid2)){return f3(l, mid1);} else {return f3(mid1+1, mid2);}}/*** 獲取指定區域內硬幣的重量* */private static int sum(int l, int r) {int sum = 0;for (int i = l; i <= r; i++) {sum += a[i];}return sum;} }

二分查找算法適用于單調的一個函數，即數組序列要么升序，要么降序

而三分查找算法使用于凸函數，常用來求極值問題。

在假幣問題中，三分查找在n較大的情況下，效率是優于二分查找的。

最復雜的情況

下面來回到最開始的問題，在不知道假幣輕重的情況下，我們通過下面的算法來實現，其時間復雜度為O(log(以2為底n的對數))

相比來說，這種情況思考起來比較復雜，但是好在邏輯清楚，只要理解了思路，算法還是好實現的，下面我們來舉一個例子，假設有八枚硬幣，其中有一枚硬幣是假幣。但是我們不知道假幣是比真幣重還是輕。先把八枚硬幣編號，分別表示為a，b，c，d，e，f，g，h，從八枚硬幣中任取六枚a，b，c，d，e，f，在天平兩端各放三枚進行比較。假設a，b，c三枚放在天平的一端，d，e，f三枚放在天平的另一端，可能出現三種比較結果：

⑴ a＋b＋c>d＋e＋f

⑵ a＋b＋c＝d＋e＋f

⑶ a＋b＋c<d＋e＋f

若a＋b＋c>d＋e＋f，可以肯定這六枚硬幣中必有一枚為假幣，同時也說明g、h為真幣。這時可將天平兩端各去掉一枚硬幣，假設去掉c、f，同時將天平兩端的硬幣各換一枚，假設硬幣b、e作了互換，然后進行第二次比較，比較的結果同樣可能有三種：

① a＋e>d＋b：這種情況表明天平兩端去掉硬幣c、f且硬幣b、e互換后，天平兩端的輕重關系保持不變，從而說明了假幣必然是a，d中的一個，這時我們只要用一枚真幣（例如h）和a進行比較，就能找出假幣。若a>h，則a是較重的假幣；若a＝h，則d為較輕的假幣；不可能出現a<h的情況。（為什么？很簡單，因為我們判斷了a，d中有一個假幣那么e，b都是真幣，則e＝d。而a＋e>d＋b可以推出a>d，所以不管a是真是假都不可能出現a<h情況出現）

② a＋e＝d＋b：此時天平兩端由不平衡變為平衡，表明假幣一定在去掉的兩枚硬幣c，f中，同樣用一枚真幣（例如h）和c進行比較，若c>h，則c是較重的假幣；若c＝h，則f為較輕的假幣；不可能出現c<h的情況。

③ a＋e<d＋b：此時表明由于兩枚硬幣b，e的對換，引起了兩端輕重關系的改變，那么可以肯定b或e中有一枚是假幣，同樣用一枚真幣（例如h）和b進行比較，若b>h，則b是較重的假幣；若b＝h，則e為較輕的假幣；不可能出現b<h的情況。

public class Main {static int[] a = {2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2};static int flag = 0;public static void main(String[] args) {int p;if (sum(0, 2) == sum(3, 5)) {p = fp(6, 7);} else if (sum(0, 2) > sum(3, 5)){if (a[0] + a[4] > a[3] + a[1]) {p = fp(0, 3);} else if (a[0] + a[4] == a[3] + a[1]) {p = fp(2, 5);} else {p = fp(1, 4);}} else {if (a[0] + a[4] > a[3] + a[1]) {p = fp(1, 4);} else if (a[0] + a[4] == a[3] + a[1]) {p = fp(2, 5);} else {p = fp(0, 3);}}if (flag == 1) {System.out.println("假幣輕，為第" + p + "枚");} else {System.out.println("假幣重，為第" + p + "枚");}}private static int fp(int l, int r) {int H, L;int x = (l+1) % 8;if(a[l] > a[r]) {H = l;L = r;} else {H = r;L = l;}if (a[H] > a[x]) {flag = 1;return H;} else {flag = -1;return L;}}/*** 獲取指定區域內硬幣的重量* */private static int sum(int l, int r) {int sum = 0;for (int i = l; i <= r; i++) {sum += a[i];}return sum;} }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的假币问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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