題目：有m個蘋果，n個盤子，每個盤子都可以放無數(shù)個蘋果，問有多少種分法？例如有5個蘋果，5個盤子，則由（11111)，（1112），（113），（14），（212），（23），（5）共7種分法。

分析：
這道題我有兩種解法，一種是回溯法，即設(shè)定一個列表[1,2,…m]，然后對列表內(nèi)的元素進行組合，組合條件有兩個，1），它們的和為m。2），它們的個數(shù)不能超過n。當滿足這種條件時，停止回溯，并記錄結(jié)果。最后看這樣的組合有多少個就行了。
另外一種是動態(tài)規(guī)劃法，這是我這篇文章要寫的解法。
因為m和n比較容易混淆誰是蘋果誰是盤子，因此這里用apples代表蘋果，用plates代表盤子。設(shè)f(apples,plates)函數(shù)代表當有apples個蘋果，plates個盤子時的分法。

1、當apples只有1個或者0個時，那不管盤子有多少個，那只有1種分法，即只在1個盤子里放蘋果，其他盤子都空著；
2、當plates只有1個時，那也只有1種分法，即把所有的蘋果都放在這個盤子里；
因此，我們可以得出，
if apples <=1 or plates == 1:
f(apples,plates) = 1

3、當plates > apples時，盤子比蘋果還多，那把多余的盤子撤了也不影響結(jié)果，
因此，我們可以得出，
if plates > apples：
f(apples,plates) = f(apples,apples)

4、當plates <= apples時，那可以分成兩種情況：a，沒有空盤子，即每個盤子上都放有蘋果；b,有空盤子，即至少有1個盤子里沒放蘋果。
設(shè)f(apples,plates)_a代表a情況下的分法， f(apples,plates)_b代表b情況下的分法，我們可以得出，
f(apples,plates) = f(apples,plates)_a + f(apples,plates)_b
對于沒有空盤子的情況，那我們可以給每個盤子上都放1個蘋果，然后把剩余的蘋果再分到這些盤子里。即f(apples,plates)_a = f(apples-plates,plates)
而對于有空盤子的情況，因為蘋果數(shù)量不變，而盤子數(shù)量會變少，即有1個空盤子，有2個空盤子，有3個空盤子，…有plates-1空盤子，因此我們可以知道：
即f(apples,plates)_b = f(apples,plates-1)+f(apples,plates-2)+f(apples,plates-3)+…+f(apples,1)
那么，f(apples,plates-1)怎么算呢？那么此時我們就又回到了第4步的起始位置，按照第4步的邏輯，再推導一遍可知：f(apples,plates-1) = f(apples,plates-1)_a + f(apples,plates-1)_b
f(apples,plates-1)_a = f(apples-(plates-1),plates-1)
f(apples,plates-1)_b = f(apples,plates-2)+f(apples,plates-3)+f(apples,plates-4)+…+f(apples,1)

觀察一下f(apples,plates)_b與f(apples,plates-1)_b的結(jié)果可以知道，f(apples,plates-2)+f(apples,plates-3)+f(apples,plates-4)+…+f(apples,1)被算了兩遍，因此可以得出一個重要的結(jié)論：只有1個空盤子的情況的分法里，已經(jīng)包含了有2個空盤子、有3個空盤子…有plates-1個空盤子的情況。

因此，綜上，可以得出當plates<=apples時，
f(apples,plates) = f(apples-plates,plates) + f(appels,plates-1)

將上述四種情況用代碼實現(xiàn)如下（引入了字典備忘錄，以加快運行速率）：

devide_dict = {} def devide_apple(apples,plates):if apples <= 1 or plates == 1:return 1if plates > apples:plates = applesreturn devide_apple(apples,plates)if (apples,plates) in devide_dict:return devide_dict[(apples,plates)]else:count = devide_apple(apples-plates,plates)+devide_apple(apples, plates-1)devide_dict[(apples,plates)] = countreturn count

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的动态规划-分苹果：m个苹果，n个盘子的分法个数的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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