文章目錄

• 10、腳注-高階函數(shù)
• 11、泰勒級數(shù)

10、腳注-高階函數(shù)

本節(jié)只是為了下一節(jié)做鋪墊，說一下什么是高階函數(shù)

例如，路程函數(shù) $s(t)$
二階導數(shù)就是，導數(shù)的導數(shù)；后面同理；

11、泰勒級數(shù)

泰勒公式-百度百科
泰勒公式是將一個在$x=x_0$處具有n階導數(shù)的函數(shù)$f(x)$利用關于$(x?x_0)$的n次多項式來逼近函數(shù)的方法。
若函數(shù)$f(x)$在包含$x_0$的某個閉區(qū)間[a,b]上具有n階導數(shù)，且在開區(qū)間（a,b）上具有（n+1）階導數(shù)，則對閉區(qū)間[a,b]上任意一點x，成立下式：

$f(x)=\frac{f(x_0)}{0!}+(x?x_0)\frac{f^{{}^{\prime }}(x_0)}{1!}+(x?x_0{)}^2\frac{f^{{}^{\prime \prime }}(x_0)}{2!}+?+(x?x_0{)}^n\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}+R_n(x)$

這個咋一看，太復雜；本節(jié)就是形象解析這個內(nèi)容，為真正學習微積分進行入門鋪墊。

首先有一個例子引入，單擺離最低點的距離函數(shù)為$R(1?cos(\theta ))$，如下

但是，由于單擺擺動幅度很小，這個$cos(\theta )$就顯得很奇怪，但是換成近似解，就清楚多了，就是拋物線

因此泰勒多項式，是用于求$x\to x_0$附近的近似函數(shù)

例如，求$cos(x)$在0附近的近似：

在$x=0$，每一次更高階的導數(shù)，都可以算出泰勒多項式中對應階的常數(shù)，非常方便。

如果不是求0點而是求a點附近的近似，只需要把函數(shù)寫成$f(x?a)$

如果是算$f(x)=e^x$，則非常簡單，因為他的導數(shù)總是讓本身，永遠都是$e^0=1$,下圖：

所以，每一次更高階項加入，函數(shù)就會更加近似，而且是全范圍的，理論上可以加無限的項，就叫泰勒級數(shù)

并且，這個函數(shù)，是全范圍可近似的泰勒級數(shù)，可收斂到$e^x$

但是有些級數(shù)就不行，例如，$ln(x)$的泰勒級數(shù)，在(0,2]在外，是發(fā)散的。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数据挖掘day04-微积分的本质10~11的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。