数据挖掘day04-微积分的本质10~11
文章目錄
- 10、腳注-高階函數(shù)
- 11、泰勒級數(shù)
10、腳注-高階函數(shù)
本節(jié)只是為了下一節(jié)做鋪墊,說一下什么是高階函數(shù)
例如,路程函數(shù) s(t)s(t)s(t)
二階導數(shù)就是,導數(shù)的導數(shù);后面同理;
11、泰勒級數(shù)
泰勒公式-百度百科
泰勒公式是將一個在x=x0x=x_0x=x0?處具有n階導數(shù)的函數(shù)f(x)f(x)f(x)利用關于(x?x0)(x-x_0)(x?x0?)的n次多項式來逼近函數(shù)的方法。
若函數(shù)f(x)f(x)f(x)在包含x0x_0x0?的某個閉區(qū)間[a,b]上具有n階導數(shù),且在開區(qū)間(a,b)上具有(n+1)階導數(shù),則對閉區(qū)間[a,b]上任意一點x,成立下式:
f(x)=f(x0)0!+(x?x0)f′(x0)1!+(x?x0)2f′′(x0)2!+?+(x?x0)nf(n)(x0)n!+Rn(x)f(x)=\frac{f(x_0)}{0!}+(x-x_0) \frac{f^{'}(x_0)}{1!}+(x-x_0) ^2\frac{f^{''}(x_0)}{2!}+\cdots+(x-x_0) ^n\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}+R_n(x)f(x)=0!f(x0?)?+(x?x0?)1!f′(x0?)?+(x?x0?)22!f′′(x0?)?+?+(x?x0?)nn!f(n)(x0?)?+Rn?(x)
這個咋一看,太復雜;本節(jié)就是形象解析這個內(nèi)容,為真正學習微積分進行入門鋪墊。
首先有一個例子引入,單擺離最低點的距離函數(shù)為R(1?cos(θ))R(1-cos( \theta))R(1?cos(θ)),如下
但是,由于單擺擺動幅度很小,這個cos(θ)cos( \theta)cos(θ)就顯得很奇怪,但是換成近似解,就清楚多了,就是拋物線
因此泰勒多項式,是用于求x→x0x \to x_0x→x0?附近的近似函數(shù)
例如,求cos(x)cos(x)cos(x)在0附近的近似:
在x=0x=0x=0,每一次更高階的導數(shù),都可以算出泰勒多項式中對應階的常數(shù),非常方便。
如果不是求0點而是求a點附近的近似,只需要把函數(shù)寫成f(x?a)f(x-a)f(x?a)
如果是算f(x)=exf(x)=e^xf(x)=ex,則非常簡單,因為他的導數(shù)總是讓本身,永遠都是e0=1e^0=1e0=1,下圖:
所以,每一次更高階項加入,函數(shù)就會更加近似,而且是全范圍的,理論上可以加無限的項,就叫泰勒級數(shù)
并且,這個函數(shù),是全范圍可近似的泰勒級數(shù),可收斂到exe^xex
但是有些級數(shù)就不行,例如,ln(x)ln(x)ln(x)的泰勒級數(shù),在(0,2]在外,是發(fā)散的。
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的数据挖掘day04-微积分的本质10~11的全部內(nèi)容,希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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