文章目錄

• • • Treap = Tree + Heap (樹堆 = 樹 + 堆)
    • • 1. 例題1 洛谷P3369 【模板】普通平衡樹
      • • 1. 結構體定義如下
      • 2. 向上更新`以u為根的樹的節點個數`
      • 3. 旋轉操作 route
      • 4. 插入操作 insert
      • 5. 刪除操作 del
      • 6. 查詢排名rand_x
      • 7. 查詢 K 小值 kth
      • 8. 求key的前驅 get_pre
      • 9. 求key的后繼 get_suf
      • 完整代碼
    • 擴展應用
    • • 1. 線段樹套平衡樹，求區間前驅后繼排名(就是線段樹的每個節點都是一個平衡樹)
      • 2. 伸展樹, 區間反轉分割
      • 3. 雙端優先隊列的實現 (可以 取最大最小值的堆)
      • 4. 游戲排名系統 (動態數據容器) [原文鏈接https://blog.csdn.net/yang_yulei/article/details/46005845](https://blog.csdn.net/yang_yulei/article/details/46005845)

Treap = Tree + Heap (樹堆 = 樹 + 堆)

大佬的博客https://www.luogu.com.cn/blog/HOJQVFNA/qian-xi-treap-ping-heng-shu

簡介 : 本質上是一種使用 隨機權值維護堆的性質的二叉查找樹, 通過基礎的樹旋轉維持堆的性質,
由隨機權值保證樹高度為 logN

具體做法 : 插入或刪除后, 若不滿足 堆的性質 則旋轉
優點 : 防止 退化成鏈表 簡單好寫, 是最好寫的平衡樹之一, 好理解
缺點 : 常數大

---

1. 例題1 洛谷P3369 【模板】普通平衡樹

您需要寫一種數據結構（可參考題目標題），來維護一些數，其中需要提供以下操作：

1. 插入 x 數 (插入值)
2. 刪除 x 數(若有多個相同的數，因只刪除一個)
3. 查詢 x 數的排名(排名定義為比當前數小的數的個數 +1 )
4. 查詢排名為 k 的數 (求K小值)
5. 求 x 的前驅 (前驅定義為小于 x，且最大的數)
6. 求 x 的后繼 (后繼定義為大于 x，且最小的數)

---

1. 結構體定義如下

#define lson(u) (tree[u].chl[0]) #define rson(u) (tree[u].chl[1]) struct Node {int chl[2], //chl[0]是左兒子 , chl[1]是右兒子val, //節點值sz, //以該節點的為根節點個數recy, //該節點重復了幾次rnd; //隨機優先級 } tree[MAXN<<4];

2. 向上更新以u為根的樹的節點個數

當前節點u的sz = 左子樹sz + 右子樹sz + u的重復次數recy(U)

inline void push_up(int u) {//更新節點以u為根的樹的節點個數tree[u].sz = tree[lson(u)].sz + tree[rson(u)].sz + tree[u].recy; }

3. 旋轉操作 route

我們可以把左旋和右旋合并成為一個統一的函數

通過傳入的操作數cmd實現相應的旋轉

#define LROUTE 0 #define RROUTE 1 void route(int& u, int cmd) { //cmd=0左旋, cmd=1右旋int tmp = tree[u].chl[cmd^1];tree[u].chl[cmd^1] = tree[tmp].chl[cmd];tree[tmp].chl[cmd] = u;push_up(u), push_up(tmp); //不要忘了更新對應的szu = tmp; }

4. 插入操作 insert

和普通BST一樣的插入, 并建立隨機權值即可

插入后, 需要向上更新節點的 以該節點的為根節點個數sz

void insert(int& u, int key) {if(!u) { //走到葉子就新建節點u = ++tot;tree[u].sz = tree[u].recy = 1;tree[u].val = key;tree[u].rnd = rand(); //隨機權值return ;}tree[u].sz ++;if(key == tree[u].val) { tree[u].recy ++; return ; }int cmd = (key > tree[u].val); //大于則向右插入insert(tree[u].chl[cmd], key);//插入后維護大根堆的性質//失衡的時候, 往與插入相反的方向旋轉if(tree[u].rnd < tree[tree[u].chl[cmd]].rnd)route(u, cmd^1);push_up(u); }

5. 刪除操作 del

和普通的BST一樣的刪除, 分為 4種情況

沒有這值為 key 的節點, 直接返回

當前根和key不相等, 就去相應的子節點解決

葉子節點, 直接刪除

有左兒子, 沒有右兒子, 右旋并去右兒子解決 (因為右旋后root轉到了rig)

沒有左兒子, 有右兒子, 左旋并去左兒子解決(因為左旋后root轉到了lef)

左右都有, 就把 大的轉上來 并去 另一個兒子 解決

使用 堆刪除的方式, 把key 旋轉到葉子 節點后刪除

void del(int& u, int key) {if(!u) return ;if(key < tree[u].val) del(lson(u), key);else if(key > tree[u].val) del(rson(u), key);else { //4種刪除情況if(!lson(u) && !rson(u)) { //葉子節點直接刪除tree[u].sz --,tree[u].recy --;if(tree[u].recy == 0) u = 0;} else if(lson(u) && !rson(u)) { //只有左節點route(u, 1);del(rson(u), key);} else if(!lson(u) && rson(u)) { //只有右節點route(u, 0);del(lson(u), key);} else if(lson(u) && rson(u)) { //左右都有//把大的那個轉上來，并去另一個子樹解決int cmd = (tree[lson(u)].rnd > tree[rson(u)].rnd);route(u, cmd);del(tree[u].chl[cmd], key);}}push_up(u); }

6. 查詢排名rand_x

還是比較key, 小于往左, 大于往右

往右說明 root的左兒子中的所有節點都 小于key
所以排名應加上 左兒子的節點的個數 和 根節點的重復次數

int rank_x(int u, int key) { //求key的排名if(!u) return 0;if(key == tree[u].val) //返回左子樹個數 + 1return tree[lson(u)].sz + 1;else if(key < tree[u].val) //小于就去左子樹找return rank_x(lson(u), key);else //大于就去右子樹, 類似于權值線段樹return tree[lson(u)].sz +tree[u].recy +rank_x(rson(u), key); }

7. 查詢 K 小值 kth

如果左子樹節點個數大于等于 k , 說明 k 小值還在左子樹

如果左子樹的節點個數加上根的重復次數仍然小于 k, 說明k小值在右子樹

int kth(int u, int k) { //查詢k小值if(!u) return 0;if(tree[lson(u)].sz >= k) return kth(lson(u), k);else if(tree[lson(u)].sz + tree[u].recy < k)return kth(rson(u), k-tree[lson(u)].sz-tree[u].recy);else return tree[u].val; }

8. 求key的前驅 get_pre

只要根仍然大于等于key, 就向左子樹找

向右走記得取max, 前驅定義為小于key，且最大的數

int get_pre(int u, int key) {if(!u) return -INF;if(key <= tree[u].val) return get_pre(lson(u), key);elsereturn max(tree[u].val, get_pre(rson(u), key)); }

9. 求key的后繼 get_suf

int get_suf(int u, int key) {if(!u) return INF;if(key >= tree[u].val) return get_suf(rson(u), key);elsereturn min(tree[u].val, get_suf(lson(u), key)); }

完整代碼

// #define debug #ifdef debug #include <time.h> #include "win_majiao.h" #endif#include <iostream> #include <algorithm> #include <vector> #include <string.h> #include <map> #include <set> #include <stack> #include <queue> #include <math.h>#define MAXN ((int)1e5+7) #define ll long long int #define INF (0x7f7f7f7f) #define QAQ (0)using namespace std; typedef vector<vector<int> > VVI;#define show(x...) \do { \cout << "[" << #x << " -> "; \err(x); \} while (0)void err() { cout << "]" << endl; } template<typename T, typename... A> void err(T a, A... x) { cout << a << ' '; err(x...); }namespace FastIO{char print_f[105];void read() {}void print() { putchar('\n'); }template <typename T, typename... T2>inline void read(T &x, T2 &... oth) {x = 0;char ch = getchar();ll f = 1;while (!isdigit(ch)) {if (ch == '-') f *= -1; ch = getchar();}while (isdigit(ch)) {x = x * 10 + ch - 48;ch = getchar();}x *= f;read(oth...);}template <typename T, typename... T2>inline void print(T x, T2... oth) {ll p3=-1;if(x<0) putchar('-'), x=-x;do{print_f[++p3] = x%10 + 48;} while(x/=10);while(p3>=0) putchar(print_f[p3--]);putchar(' ');print(oth...);} } // namespace FastIO using FastIO::print; using FastIO::read;int n, m, Q, K, root, tot;#define lson(u) (tree[u].chl[0]) #define rson(u) (tree[u].chl[1]) struct Node {int chl[2], //chl[0]是左兒子 , chl[1]是右兒子val, //節點值sz, //該節點的為根節點個數recy, //該節點重復了幾次rnd; //隨機優先級 } tree[MAXN<<4];void push_up(int u) {//更新節點以u為根的樹的節點個數tree[u].sz = tree[lson(u)].sz + tree[rson(u)].sz + tree[u].recy; }#define LROUTE 0 #define RROUTE 1 void route(int& u, int cmd) { //cmd=0左旋, cmd=1右旋int tmp = tree[u].chl[cmd^1];tree[u].chl[cmd^1] = tree[tmp].chl[cmd];tree[tmp].chl[cmd] = u;push_up(u), push_up(tmp);u = tmp; }void insert(int& u, int key) {if(!u) {u = ++tot;tree[u].sz = tree[u].recy = 1;tree[u].val = key;tree[u].rnd = rand(); //隨機權值return ;}tree[u].sz ++;if(key == tree[u].val) { tree[u].recy ++; return ; }int cmd = (key > tree[u].val); //大于則向右插入insert(tree[u].chl[cmd], key);//插入后維護大根堆的性質//失衡的時候, 往與插入相反的方向旋轉if(tree[u].rnd < tree[tree[u].chl[cmd]].rnd)route(u, cmd^1);push_up(u); }void del(int& u, int key) {if(!u) return ;if(key < tree[u].val) del(lson(u), key);else if(key > tree[u].val) del(rson(u), key);else { //4種刪除情況if(!lson(u) && !rson(u)) { //葉子節點直接刪除tree[u].sz --,tree[u].recy --;if(tree[u].recy == 0) u = 0;} else if(lson(u) && !rson(u)) { //只有左節點route(u, 1);del(rson(u), key);} else if(!lson(u) && rson(u)) { //只有右節點route(u, 0);del(lson(u), key);} else if(lson(u) && rson(u)) { //左右都有//把大的那個轉上來，并去另一個子樹解決int cmd = (tree[lson(u)].rnd > tree[rson(u)].rnd);route(u, cmd);del(tree[u].chl[cmd], key);}}push_up(u); }int rank_x(int u, int key) { //求key的排名if(!u) return 0;if(key == tree[u].val) //返回左子樹個數 + 1return tree[lson(u)].sz + 1;else if(key < tree[u].val) //小于就去左子樹找return rank_x(lson(u), key);else //大于就去右子樹, 類似于權值線段樹return tree[lson(u)].sz +tree[u].recy +rank_x(rson(u), key); }int kth(int u, int k) { //查詢k大值if(!u) return 0;if(tree[lson(u)].sz >= k) return kth(lson(u), k);else if(tree[lson(u)].sz + tree[u].recy < k)return kth(rson(u), k-tree[lson(u)].sz-tree[u].recy);else return tree[u].val; }int get_pre(int u, int key) {if(!u) return -INF;if(key <= tree[u].val) return get_pre(lson(u), key);elsereturn max(tree[u].val, get_pre(rson(u), key)); }int get_suf(int u, int key) {if(!u) return INF;if(key >= tree[u].val) return get_suf(rson(u), key);elsereturn min(tree[u].val, get_suf(lson(u), key)); }signed main() { #ifdef debugfreopen("test.txt", "r", stdin);clock_t stime = clock(); #endifread(n);int cmd, val, ans;for(int i=1; i<=n; i++) {read(cmd, val);switch (cmd) {case 1:insert(root, val);break;case 2:del(root, val);break;case 3:ans = rank_x(root, val);printf("%d\n", ans);break;case 4:ans = kth(root, val);printf("%d\n", ans);break;case 5:ans = get_pre(root, val);printf("%d\n", ans);break;case 6:ans = get_suf(root, val);printf("%d\n", ans);break;default:break;}} #ifdef debugclock_t etime = clock();printf("rum time: %lf 秒\n",(double) (etime-stime)/CLOCKS_PER_SEC); #endif return 0; }

擴展應用

1. 線段樹套平衡樹，求區間前驅后繼排名(就是線段樹的每個節點都是一個平衡樹)

2. 伸展樹, 區間反轉分割

3. 雙端優先隊列的實現 (可以 取最大最小值的堆)

使用Treap實現取出最大最小值即可

4. 游戲排名系統 (動態數據容器) 原文鏈接https://blog.csdn.net/yang_yulei/article/details/46005845

實現三種操作

• 上傳一條得分記錄
• 查看當前排名
• 返回區間 [L,R] 內的排名記錄

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P3369 【模板】普通平衡树 Treap树堆学习笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。