題意

寫一棵平衡樹，需要實現如下幾種操作：

插入 $x$ 數

刪除 $x$ 數(若有多個相同的數，因只刪除一個)

查詢 $x$ 數的排名(排名定義為比當前數小的數的個數 $+1$ )

查詢排名為 $x$ 的數

求 $x$ 的前驅(前驅定義為小于 $x$，且最大的數)

求 $x$ 的后繼(后繼定義為大于 $x$，且最小的數)

思路

BST

什么是BST（二叉查找樹）呢？

BST是一種二叉樹，用于做一些查找操作（其實很多是題意中所說明的工作）。BST需要滿足當前結點的左子樹中所有結點的鍵值要小于當前結點，而右子樹相反，所有結點的鍵值都要大于當前節點。

BST的性質：

• 一棵BST能對應一個鍵的集合
• 一個集合對應的BST不為一
• 對BST做中序遍歷，得到的序列是嚴格單調遞增的

Treap

Treap是一種編程比較簡單的平衡樹，它在普通二叉搜索樹的基礎上，給每個結點一個隨機的優先級。樹上每個結點在滿足BST的性質以外，還需要根據優先級滿足堆的性質。

旋轉操作

為了要讓Treap同時滿足BST和堆的性質，肯定要對其結構進行調整。這個調整的方式被稱為旋轉。在Treap中，只有兩種旋轉操作——左旋和右旋

左旋一個子樹，會把它的根挪到根的左子樹部分，同時根的右子樹成為子樹的根，再把右子樹的左子樹接到根的右子樹上。

右旋一個子樹，會把它的根轉到右子樹上，同時根的左子樹成為子樹的根。在把左子樹的右子樹接到根的右子樹上。

插入操作

• 如果當前沒有結點，那么就到了位置，直接創建新的。
• 如果當前結點的鍵值為 $x$,那么懶添加，在當前結點的出現次數記錄那里直接 $+1$ 即可。
• 否則根據BST性質接著遍歷即可。
• 插入后如果不滿足Trep的堆性質了，旋轉。

刪除操作

• 如果不存在，那么返回即可。
• 如果要刪除的元素是在子樹中，去子樹里找
• 如果當前要刪除結點是葉子，那么直接刪除。
• 如果當前點只有一個孩子，那么直接把自己跟孩子換了就行。
• 否則有兩個孩子的話旋轉一下后直接刪除。

查詢x數的排名

• 如果當前節點是x，直接返回左子樹大小 $+1$ 即可。
• 否則接著安照BST性質遍歷即可。

查詢排名為x的數

• 與上一個操作很像，讀者可以自行想想

前驅后繼

讀者也可以自行想想。

tips

我們為什么不直接用BST呢？可以想想，如果給出一個單調遞增/遞減的序列，是不是都一直往右子樹/左子樹上添加了。一個滿二叉樹（最好情況）的時間復雜度（層數）是 $\log n$ 的，但是如果都往一個方向，那么層數就變成 $n$ 了，這不好。但是如果旋轉，每一次都能減少一層，然后隨機化也會讓這個序列達到一個相對平衡的狀態。所謂的堆性質也可以理解為是一個“莫須有”的罪名罷了。

代碼

#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; typedef long long ll; const ll MAXN=1e5+5; const ll INF=2147483647; ll root; struct Node{ll son[2];//0為左孩子ll cnt,value,pri,size;//出現次數，值，優先級，個數 }t[MAXN]; void push_up(ll u){t[u].size=t[t[u].son[0]].size+t[t[u].son[1]].size+t[u].cnt;//為左子樹的大小+右子樹的大小+自身的個數 } void rotate(ll &u,ll d){//d=0為左旋，d=1為右旋ll k=t[u].son[d^1];t[u].son[d^1]=t[k].son[d];t[k].son[d]=u;push_up(u);push_up(k);u=k; } ll sz; void insert(ll &u,ll x){if(u==0){u=++sz;//新元素t[u].cnt=t[u].size=1;//葉子大小和元素個數都為1t[u].value=x;//值為xt[u].pri=rand();//隨機賦優先級return;}if(t[u].value==x) {t[u].size++;//更改空間t[u].cnt++;//多了一個一樣的return;}ll k=x>t[u].value;//在左子樹還是右子樹里insert(t[u].son[k],x);if(t[u].pri<t[t[u].son[k]].pri){//是否滿足堆性質rotate(u,k^1);//旋轉，旋哪個子樹}push_up(u);//更新 } void del(ll &u,ll x){if(u==0){return;//壓根不存在}if(x<t[u].value){del(t[u].son[0],x);//在左子樹里}else if(x>t[u].value){del(t[u].son[1],x);//在右子樹里}else{if(t[u].cnt>1){t[u].size--;//懶刪除t[u].cnt--;//同上}else if(t[u].son[0]==0&&t[u].son[1]==0){u=0;//葉子結點，直接刪除就行了}else if(t[u].son[0]!=0&&t[u].son[1]==0){u=t[u].son[0];//接到左子樹上}else if(t[u].son[0]==0&&t[u].son[1]!=0){u=t[u].son[1];//接到右子樹上}else{ll k=t[t[u].son[0]].pri>t[t[u].son[1]].pri;//兩邊都有，選擇刪rotate(u,k);//旋一下，把根換到底下del(t[u].son[k],x);//接著刪}}push_up(u);//更新 } ll x_rank(ll u,ll x){if(u==0){return 0;//不存在}if(t[u].value==x){return t[t[u].son[0]].size+1;//小的元素個數再+1}if(x<t[u].value){return x_rank(t[u].son[0],x);//比當前小，在左子樹里}return t[t[u].son[0]].size+t[u].cnt+ x_rank(t[u].son[1],x);//左子樹的大小+當前結點元素個數+右子樹中的排名 } ll rank_x(ll u,ll x){if(t[t[u].son[0]].size>=x){return rank_x(t[u].son[0],x);//左子樹的排名比x大}if(t[t[u].son[0]].size+t[u].cnt<x){return rank_x(t[u].son[1],x-t[t[u].son[0]].size-t[u].cnt);//這個結點的排名比x小，去右邊，同時減掉當前排名}return t[u].value;//找到了，返回元素 } ll pre(ll u,ll x){if(u==0){return -INF;//不存在前驅}if(t[u].value>=x){return pre(t[u].son[0],x);//比x大，去左邊}return max(t[u].value, pre(t[u].son[1],x));//是不是當前的，還是在右子樹里，取max } ll suc(ll u,ll x){if(u==0){return INF;//不存在}if(t[u].value<=x){return suc(t[u].son[1],x);//比x小，去右邊}return min(t[u].value, suc(t[u].son[0],x));//選最小的，與前驅相同 } int main(){srand(time(NULL));ll n;scanf("%lld",&n);for (int i = 1; i <=n ; ++i) {ll op,x;scanf("%lld%lld",&op,&x);if(op==1){insert(root,x);}else if(op==2){del(root,x);}else if(op==3){printf("%lld\n",x_rank(root,x));}else if(op==4){printf("%lld\n",rank_x(root,x));}else if(op==5){printf("%lld\n",pre(root,x));}else{printf("%lld\n",suc(root,x));}}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P3369普通平衡树的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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