多目標(biāo)優(yōu)化——帕累托最優(yōu)Pareto

0.前言

本文是本人在學(xué)習(xí)過程中為便于記憶利用博客進(jìn)行總結(jié)，期待與各位大佬共同學(xué)習(xí)交流

什么是多目標(biāo)優(yōu)化

在了解帕累托最優(yōu)之前，我們先來討論一下，什么是多目標(biāo)優(yōu)化（Multiobjective Optimization Problem, MOP）。

通俗來講，多目標(biāo)優(yōu)化是指在一個問題中，需要同時解決/改善多個目標(biāo)。這些目標(biāo)通常情況下是存在相互影響的，也就是當(dāng)我優(yōu)化了A目標(biāo)后，可能待優(yōu)化的其他目標(biāo)B、C會變得更糟糕。所以這些目標(biāo)可能無法同時達(dá)到最優(yōu)情況,多目標(biāo)優(yōu)化要做的事情，就是盡可能的找到一定范圍內(nèi)的最佳狀態(tài)。

舉個例子：當(dāng)我們在買車的時候希望花最少的錢、買最好的性能、以及最高的舒適度。顯然這是不可能的，而多目標(biāo)優(yōu)化問題，就是在一定范圍內(nèi)尋優(yōu)，即我以較低的價格、買一輛性能較好、舒適度較高的車。

多目標(biāo)優(yōu)化問題的兩類方法

第一類方法是將多目標(biāo)優(yōu)化問題化簡為單目標(biāo)優(yōu)化問題，主要通過將不同的目標(biāo)函數(shù)加權(quán)，并將其組合在一個目標(biāo)函數(shù)中進(jìn)行完成，其主要思想就是轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題。

第二類方法就是今天主要記錄的 帕累托最優(yōu)（Pareto），其主要思想是首先對不同目標(biāo)優(yōu)先級或權(quán)重進(jìn)行明確，然后視圖找到優(yōu)化條件在不同權(quán)重下各為最優(yōu)解的一組解（成為Pareto解集），然后根據(jù)決策者的偏好或應(yīng)用場景決定選擇哪個解。

Pareto最優(yōu)

一、首先，我們要先給出 多目標(biāo)優(yōu)化的定義：

其中：u∈Ω，為決策向量，Ω為決策空間；
y∈Y，為目標(biāo)向量，Y為目標(biāo)函數(shù)空間。、

二、接下來，我們要了解 Pareto支配的定義：

其中u、v為決策空間Ω中的兩個決策向量，即決策向量u在所有目標(biāo)函數(shù)中，都優(yōu)于決策向量v，則稱：u支配v。

三、了解Pareto最優(yōu)解 與 Pareto解集

既然這樣，如果不存在一個決策向量可以支配決策向量u，即在決策空間中，找不到其他的決策向量能夠由于u，則稱決策向量u為Pareto最優(yōu)解，也稱為 非支配解。

所有Pareto最優(yōu)解所組成的集合，稱為Pareto解集。表示如下：

四、Pareto前沿
所有Pareto解集在目標(biāo)空間的投影，稱為Pareto前沿

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的多目标优化——帕累托最优Pareto的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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