常微分方程

微分方程的基本概念

微分方程：表示未知函數、未知函數的導數或微分與自變量之間的關系的方程。
如果微分方程中的未知函數（一元函數）僅含有一個自變量，這樣的微分方程稱為常微分方程。否則，稱為偏微分方程。

微分方程的階：方程中未知函數的最高導數的階數 n 叫作該微分方程的階，同時該方程叫做 n 階微分方程。

線性微分方程：微分方程中所含的未知函數及其各階導數全是一次冪，形如：
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微分方程的解：帶入微分方程后能使方程成為恒等式的函數y=f(x)。

通解：解中所含任意常數相互獨立，且個數與方程的階數相同。

特解：不含任意常數的解。

我們用未知函數及其各階導數在某個特定點的值作為確定通解中任意常數的條件，稱為微分方程的初始條件。

初值問題：求微分方程滿足初始條件的解的問題。

初值問題特解：通過初始條件確定的不含任意常數的解。

一階微分方程

可分離變量微分方程
設有一階微分方程dy / dx = F(x,y)，如果右端可以分解為F(x,y) = f(x) *g(y)其中f(x)，g(y)都是連續函數。

$$\frac{dy}{dx}=f(x)?g(y)$$

齊次微分方程
可化為如下形式的
$$\frac{dy}{dx}=\phi (\frac{y}{x})$$

解法：

做變換 u = y / x，對 y = xu 兩邊求導得

$$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$$

一階線性微分方程

• 一階齊次線性微分方程
  $$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$$

通解為
$$y=C{e}^{?\int P(x)dx}$$

• 一階非齊次線性微分方程
  $$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$

  通解

$$y=e^{?\int P(x)dx}[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C]$$
也可寫成
$$y=C{e}^{?\int P(x)dx}+e^{?\int P(x)dx}\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx$$
一階非齊次線性微分方程的通解是對應的一階齊次線性微分方程的通解與一階非齊次線性微分方程的特解之和

可降階的高階微分方程

y^(n) = f(x)型的微分方程

y’’ = f(x,y’)型的微分方程（不顯含未知函數y）
令y’ = p，則y’’ = p’，代入原方程，得p’ = f(x,p),這是關于x和p的一階方程，如果可以求出其通解p，分離變量再積分一次便得到通解

y’’ = f(y,y’)型的微分方程（不顯含未知函數x）
令y’ = p，那么y’’ = dp/dx = (dp/dy) * (dy/dx) = p*(dp/dy)，如果可以求出其通解p，分離變量再積分一次便得到通解

二階常系數線性微分方程

二階線性非齊次微分方程
$$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f(x)$$
二階線性齊次微分方程
$$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0$$
二階常系數線性非齊次微分方程
$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$$
二階常系數線性齊次微分方程
$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$$

二階線性微分方程解的結構

二階線性齊次微分方程解的結構
如果函數 y1 和 y2 是方程的解，則函數 y = C1y1 + C2y2（C1, C2為任意常數）也是方程的解。
如果函數 y1 和 y2 是方程的兩個線性無關的特解，則函數 y = C1y1 + C2y2（C1, C2為任意常數）是方程的通解。

二階線性非齊次微分方程解的結構
設函數y* 是二階線性非齊次微分方程的一個特解，函數Y 是對應對應的線性齊次微分方程的通解，則y = Y + y* 是方程的通解。
若y1 為方程y‘’ + p(x)y' + q(x)y = f1(x) 的特解，y2 為方程 y‘’ + p(x)y' + q(x)y = f2(x) 的特解，則y = y1 + y2 為方程y‘’ + p(x)y' + q(x)y = f1(x) f2(x) 的特解。–常稱為線性微分方程的解的疊加原理。

二階常系數線性齊次微分方程的解

特征方程的兩個根r1, r2方程y'' + py' + qy = 0 的通解特征方程

兩個不相等的實根r1，r2	y=C1e^r1x + C2e^r2x	(r - k1)(r - k2) = 0
兩個相等的實根r1 = r2	y=(C1+C2x)e^r1x	(r-k)^2 = 0
一對共軛復根 r1,2 = α ± iβ，β ≠ 0	y=e^αx(C1cosβx + C2sinβx)	(r - α)^2 = -β^2

二階常系數線性非齊次微分方程的解

f(x)的形式特解y*(x)的形式

f(x) = Pm(x), 其中Pm(x)為m次多項式	0不是特征根：y* = Qm(x) 0是特征單根：y* = xQm(x) 0是特征重根：y* = x^2Qm(x)
f(x) = Pm(x)e^λx	λ不是特征根：y* = Qm(x)e^λx λ是特征單根：y* = xQm(x)e^λx λ是特征重根：y* = x^2Qm(x)e^λx
f(x) = e^λx[Pn(x)cosωx + Tm(x)sinωx ]，其 中Pn(x),Tm(x)分別為n次，m次多項式	λ±iω不是特征根：y*=e^λx[Rl(x)cosωx + Sl(x)sinωx ] λ±iω是特征根：y*=xe^λx[Rl(x)cosωx + Sl(x)sinωx ]

總結

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