概念：
歐拉回路：經(jīng)過(guò)圖中所有邊恰好一次，并回到原點(diǎn)的路徑

歐拉路徑（ 歐拉通路）：經(jīng)過(guò)圖中所有邊恰好一次的路徑。

半歐拉圖：存在歐拉通路，但不存在歐拉回路；
歐拉圖:存在歐拉回路；

基圖：有向圖忽略所有邊的方向，得到的無(wú)向圖為有向圖的基圖。

性質(zhì)及定理
無(wú)向圖
定理1：
無(wú)向圖G存在歐拉回路的充要條件是G中無(wú)奇數(shù)度數(shù)的節(jié)點(diǎn)。
判斷半歐拉圖的推論：
推論1：
1.無(wú)向圖G 為半歐拉圖，當(dāng)且僅當(dāng)G為連通圖且除兩個(gè)頂點(diǎn)的度為奇數(shù)外，其余所有的頂點(diǎn)的度都為偶數(shù)。
2.G為歐拉圖時(shí)， 所有點(diǎn)度數(shù)為偶數(shù)，或者只有2個(gè)點(diǎn)度數(shù)為奇數(shù)
有向圖
定理2：
1.有向圖為歐拉圖，當(dāng)且僅當(dāng)G 的基圖連通，且所有頂點(diǎn)的入度等于出度。
2.每個(gè)頂點(diǎn)入度等于出度；
或者只有1個(gè)點(diǎn)入度比出度小1, 從這點(diǎn)出發(fā)，只有1個(gè)點(diǎn)出度比入度小1，從這個(gè)點(diǎn)結(jié)束，其他點(diǎn)入度等于出度。

歐拉回路的判定：

1.無(wú)向圖是否具有歐拉通路或回路的判定：
G有歐拉通路的充分必要條件為：G 連通，G中只有兩個(gè)奇度頂點(diǎn)(它們分別是歐拉通路的兩個(gè)端點(diǎn))。
G有歐拉回路(G為歐拉圖)：G連通，G中均為偶度頂點(diǎn)。
2. 有向圖是否具有歐拉通路或回路的判定
**D有歐拉通路：
D連通，除兩個(gè)頂點(diǎn)外，其余頂點(diǎn)的入度均等于出度，這兩個(gè)特殊的頂點(diǎn)中，一個(gè)頂點(diǎn)的入度比出度大1，另一個(gè)頂點(diǎn)的入度比出度小1。
D有歐拉回路(D為歐拉圖)：D連通，D中所有頂點(diǎn)的入度等于出度。
(注意：這里說(shuō)有向圖連通，說(shuō)的是有向圖是弱連通圖。即把有向圖中的邊變成無(wú)向邊，只要該圖連通，那么原有向圖即是弱連通圖。實(shí)際中可用并查集判斷是否弱連通)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的论欧拉回路的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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