有n 個(gè)頂點(diǎn)的圖成為 n 階圖，沒(méi)有邊的圖稱(chēng)為零圖。

1階零圖稱(chēng)為平凡圖，平凡圖只有頂點(diǎn)，沒(méi)有邊，設(shè) e=（vi,vj）則稱(chēng) vi，vj 是e 的端點(diǎn)，e 與vi vj 關(guān)聯(lián) 如果 vi!=vj 也就是說(shuō)不存在自環(huán)，則稱(chēng) vi，vj 與e 的關(guān)聯(lián)次數(shù)為以，如果 vi==vj 則稱(chēng)vi 與 e 的關(guān)聯(lián)次數(shù) 為 2.

簡(jiǎn)單圖：沒(méi)有重復(fù)邊或者說(shuō)是平行邊。

子圖符號(hào) G[ V ] 指的是點(diǎn)導(dǎo)出子圖，G[E]指的是邊導(dǎo)出子圖

規(guī)定：自身與自身一定是聯(lián)通的

初級(jí)通路： 在 n 階圖中從頂點(diǎn)u到v存在通路，則從u到v 存在長(zhǎng)度為n-1的初級(jí)通路。

連通圖： 任意兩點(diǎn)之間都是聯(lián)通的，平凡圖是連通圖。

連通分支：V 關(guān)于R 的等價(jià)類(lèi)導(dǎo)出子圖為G（V1）、G（V2）、、、、叫做G 的聯(lián)通分支，其聯(lián)通的每個(gè)支點(diǎn)的個(gè)數(shù)記作p（G），如果G 是連通圖 ，則p（G）=1，若p（G）>=2,則G 一定是非聯(lián)通圖。

如果說(shuō)通路中所有邊各異則稱(chēng)圖為簡(jiǎn)單通路，在此基礎(chǔ)上如果說(shuō)起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，則稱(chēng)其為回路，

賄賂是特殊的通路。

如果說(shuō)通路中的所有點(diǎn)各異所有邊各異，則稱(chēng)通路為簡(jiǎn)單通路或路徑，在此基礎(chǔ)上，如果說(shuō)起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，則稱(chēng)其為初級(jí)回路或者說(shuō)是圈，長(zhǎng)度為奇數(shù)的圈叫做奇圈，偶數(shù)的叫做偶圈，如果說(shuō)通路中有重復(fù)便出現(xiàn)，則稱(chēng)其為復(fù)雜通路。

u 和 v 之間最短的通路叫做短程線(xiàn)通路，d（u，v） u 與 v 之間的短程線(xiàn)通路的長(zhǎng)度。

性質(zhì)如果 u 與 v 不連通，則 d （u，v）=無(wú)窮大。

如何比較連通性 ：使得一個(gè)連通圖的聯(lián)通型破壞（成為二聯(lián)通）所需需要破壞邊數(shù)越多，圖的連通性越差。

G-v 從G中刪除v 及其關(guān)聯(lián)的邊。

G-V‘ 從G中刪除V’所有頂點(diǎn)及其關(guān)聯(lián)的邊。

G-e 從G中刪除邊e 。

G-E‘從G中刪除E’ 中所有的邊。

為了使得圖的聯(lián)通性增強(qiáng)，我們可以選擇刪除一些頂點(diǎn)和一些邊。

點(diǎn)割集：如果能最少刪除幾個(gè)點(diǎn)使得圖變得不連通，那么這幾個(gè)點(diǎn)組成的集合叫做點(diǎn)割集，注意點(diǎn)割集不唯一，但在確定的點(diǎn)割集，其元素個(gè)數(shù)是最少的。

邊割集：如果能最少刪除幾條便使得圖變得不連通，那么這幾條邊組成的集合叫做邊割集，注意邊割集不唯一，但在確定的邊割集，其元素個(gè)數(shù)是最少的。

橋：連接連個(gè)連通圖的唯一一條路徑。

性質(zhì) K（n）沒(méi)有點(diǎn)割集；

n階零圖 沒(méi)有點(diǎn)割集也沒(méi)有邊割集。

若G 聯(lián)通，E‘為邊割集，則 p3（G-E’）=2；

若G 聯(lián)通，V‘為點(diǎn)割集，則 p（G-V’）>=2；

點(diǎn)連通度K（G）與邊連通度萊姆他（G）元素最小的點(diǎn)割集中元素的個(gè)數(shù)，元素最小的邊割集中元素的個(gè)數(shù)。

可達(dá) 從 u 到 v 有道路 則稱(chēng) u 可達(dá) v, 若同時(shí) v 可達(dá) u 則稱(chēng) u 與 v 相互可達(dá)。

D強(qiáng)聯(lián)通：對(duì)于 任意 u，v ，u與v相互可達(dá)。

D單向聯(lián)通：對(duì)于 任意 u，v ，u可達(dá)v或v可達(dá)u。

D 弱聯(lián)通 ：如果略去D中的各邊的方向所得到的無(wú)向圖是連通圖，則稱(chēng)其為弱聯(lián)通圖或連通圖

無(wú)向圖的關(guān)聯(lián)矩陣：令mij 為頂點(diǎn) vi 與邊ej 的關(guān)聯(lián)次數(shù)，稱(chēng)（mij）n*m 為G 的關(guān)聯(lián)矩陣記作M（G）。

mij 的取值有三種 分別是 不關(guān)聯(lián)，1 關(guān)聯(lián)次數(shù)為1，2 關(guān)聯(lián)次數(shù)為2即ej 是以 vi 為端點(diǎn)的環(huán)。

有向無(wú)環(huán)圖的關(guān)聯(lián)矩陣：

設(shè)有向無(wú)環(huán)圖 D <V,E>, 令mij 表是關(guān)聯(lián)度，mij =1， vi 為e j 的始邊（出度），0 vi 與ej 不關(guān)聯(lián)，mij=-1，vi 是ej 的終點(diǎn)（入度），則稱(chēng)（mij ）n*m 為 D 的關(guān)聯(lián)矩陣記作 M （D）；

有向圖的鄰接矩陣 ：

設(shè)有向無(wú)環(huán)圖 D <V,E> 令 aij表示頂點(diǎn)vi 連接到到頂點(diǎn)vj 邊的條數(shù)，則稱(chēng)（aij）n*m 為 D 的鄰接矩陣，記作A（D）簡(jiǎn)記為 A；

無(wú)向圖的相鄰矩陣， 設(shè)無(wú)向簡(jiǎn)單圖G =<V,E>,令 aij 為頂點(diǎn) vi 到頂點(diǎn) vj 之間邊的條數(shù)，則稱(chēng)（aij）n*m為G 的相鄰矩陣記作 A（G）。

圖的可達(dá)矩陣：

設(shè)圖 G<V,E>,令pij 來(lái)表示 vi 是否能到大vj 如果 pij =1， 則說(shuō)明可達(dá)，如果pij=0，說(shuō)明不可達(dá)記作P（G）。

P（G）的主對(duì)角線(xiàn)元素全為1，點(diǎn)與自身可達(dá)。

G是強(qiáng)連通圖當(dāng)且僅當(dāng)P（G）的所有元素均為一。

如果能得到 的可達(dá)矩陣 A，A 就表示 所有長(zhǎng)度為一的可達(dá)關(guān)系，那么 矩陣A*A就表示所有長(zhǎng)度為2的可達(dá)關(guān)系，其中矩陣元素的大小是指，可達(dá)路徑的條數(shù)。

Ⅱ：幾種特殊的圖：

二部圖，也稱(chēng)二分圖，對(duì)于一個(gè)無(wú)向圖G<V,E>,如果能將其頂點(diǎn)集分為 V1，V2 兩個(gè)不相交的子集，使得G中的任意一條邊的兩個(gè)頂點(diǎn)不在同一個(gè)點(diǎn)集中，則稱(chēng)G 為 二分圖，V1和V2? 被稱(chēng)作互補(bǔ)頂點(diǎn)自己??，顯然n 階零圖（包含平凡圖）都叫做 二分圖（不含變得圖就是零圖）

若V1 中任一頂點(diǎn)與V2 中任一頂點(diǎn)均有且僅有一條邊相連，則稱(chēng)這個(gè)二分圖為完全二分圖，二分圖是可以被二染色的，若|V1|=s、|V2|=r ，則完全二分圖的邊數(shù)為 r*s 點(diǎn)數(shù) 為 r+s。

定理 ：說(shuō)G 是二分圖當(dāng)且當(dāng)G中無(wú)奇數(shù)長(zhǎng)度的回路時(shí)。

二分圖的最大匹配：

?設(shè)二分圖 G<V1 ，V2，E>，如果E‘中的邊互相不相鄰，則稱(chēng)E'是 G 的匹配， 如果在 E’中在增加任意一條邊后所得到的邊子集不再是匹配，則稱(chēng)E‘是G 的極大匹配，在所有極大匹配中，邊數(shù)最多的稱(chēng)作最大匹配。

完備匹配，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)集都被用最少的邊數(shù)匹配好了之后，就把這個(gè)二分圖稱(chēng)作完備圖，特別的，如果兩個(gè)點(diǎn)集都被完備匹配則稱(chēng)為完美匹配。

Hall 定理： 設(shè)二分圖 G<v1，v2，E> 其中|V1|<=|V2| ，則G中存在V1 到 V2 的完備匹配當(dāng)且僅當(dāng)V1 中任意 k 個(gè)頂點(diǎn) 至少與 V2 中任意 k 個(gè)頂點(diǎn)相鄰。

歐拉圖：

設(shè)G<E,V> 是連通圖，如果說(shuō)G經(jīng)過(guò)每條邊一次并且僅一次的回路成為歐拉回路，具有歐拉回路的圖就叫做歐拉圖，這種定義方法是根據(jù)圖的性質(zhì)啦定義的。

只有歐拉通路但沒(méi)有歐拉回路的圖不算是歐拉圖：

存在歐拉通路或歐拉回路的充分必要條件，無(wú)向圖 G 有歐拉回路，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng) G 是連通圖且沒(méi)有奇數(shù)度的頂點(diǎn)。

G 有歐拉通路但沒(méi)有歐拉回路，當(dāng)且僅當(dāng)G 是連通圖且恰好有兩個(gè) 奇數(shù)度頂點(diǎn)，在恰好有兩個(gè)頂點(diǎn)的歐拉通路中兩個(gè)奇數(shù)度頂點(diǎn)一定是端點(diǎn)。

定理：有向圖D 是歐拉回路當(dāng)且僅當(dāng)D是聯(lián)通的 且所有頂點(diǎn)的入度等于出度，有向圖D有歐拉通路但無(wú)歐拉回路，當(dāng)且僅當(dāng)D 是聯(lián)通的且除了兩個(gè)例外的頂點(diǎn)外，其余頂點(diǎn)的入度均等于入度，這兩個(gè)頂點(diǎn)中，一個(gè)頂點(diǎn)的初度比如都大1 ，另一個(gè)頂點(diǎn)的入度 比出度小1.

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的回路-通路的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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