t檢驗三種形式

• 一、參數檢驗：T檢驗介紹
• • 1.1、單樣本T檢驗(one sample t test)
  • 1.2、獨立樣本T檢驗(independent sample t-test)
  • 1.3、配對樣本T檢驗(paired t test)
  • 1.4、兩獨立樣本T檢驗(two independent sample t-test)

一、參數檢驗：T檢驗介紹

??t檢驗，亦稱student t檢驗（Student’s t test），主要用于樣本含量較小（例如n < 30），總體標準差σ未知的正態分布。 [1] t檢驗是用t分布理論來推論差異發生的概率，從而比較兩個平均數的差異是否顯著。

1.1、單樣本T檢驗(one sample t test)

??單樣本T檢驗又稱單樣本均數t檢驗,適用于樣本均數與已知總體均數μ0的比較,目的是檢驗樣本均數所代表的總體均數μ是否與已知總體均數μ0有差別。

前提條件：總體標準α未知的小樣本,且服從正態分布

??單樣本t檢驗統計量為：
$$t=\frac{\bar{X}?u}{S/\sqrt{n}}$$
??其中$\bar{X}$ 為樣本平均數， $S=\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i?\bar{x}{)}^2}{n}}$為樣本標準偏差，n為樣本數。該統計量t在零假說：μ=μ0為真的條件下服從自由度為n的t分布。

eg:大規模調查已知某地新生兒出生體重為3.30kg。從該地難產兒中隨機抽取35名新生兒,平均出生體重為3.42kg,標準差為0.40kg,問該地難產兒出生體重是否與一般新生兒體重不同?
step1：建立假設H0：u=u0,H1:u≠0
step2:計算統計量 $t=\frac{\bar{X}?u_0}{S/\sqrt{n}}=\frac{3.42?3.30}{0.40/\sqrt{3}5}=1.77$
step3：在顯著性水平$\alpha =0.05$，本例自由度v=n-1=34下，查表得$t_{0.05/2}(34)=2.032$
step4:統計決策,因t < $t_{0.05/2}(34)$，故P>0.05，按 α=0.05水準，沒有發現充足的證據拒絕H0，故差別無統計學意義，尚不能認為該地難產兒與一般新生兒平均出生體重不同。

1.2、獨立樣本T檢驗(independent sample t-test)

??獨立樣本T檢驗是用于分析定類數據與定量數據之間的關系情況，適合對比兩組數據的差異性（如不同性別的兩類人群,他們網購滿意度是否有差異?），需要特別注意的是，該定類變量為二分類變量（三分類及以上使用方差分析），各分類頻數可以不相等。

前提條件：兩組數據來自正態分布的群體，數據的方差齊，滿足獨立性。

• 其統計量為：
  $$t=\frac{{\bar{X}}_1?{\bar{X}}_2}{\sqrt{\frac{(n_1?1)S_1^2+(n_2?1)S_2^2}{n_1+n_2?2}(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}$$
  其中$S_1^2$和$S_2^2$為兩樣本方差；

1.3、配對樣本T檢驗(paired t test)

??配對t檢驗,又稱非獨立兩樣本均數t檢驗, 用來看一組樣本在處理前后的平均值有無差異，同時要求配對變量差值呈現正態性分布。其基本步驟為：

• step1提出假設：兩種處理的效應相同$H_0:u_d=0$;
• step2:計算各對數據間的差值d，將d作為變量計算均數;
• step3:差值樣本均數與已知總體均數μd（μd = 0）比較的單樣本t檢驗,其檢驗統計量為：
  $$t=\frac{\bar{d}?u_d}{S_{\bar{d}}}=\frac{\bar{d}?0}{S_{\bar{d}}}=\frac{\bar{d}}{S_d/\sqrt{n}}$$
  其中$$S_d=\sqrt{\frac{\sum d^2?\frac{(\sum d{)}^2}{n}}{n?1}}$$
• step4:確定p值，作出推斷；

eg:有12名接種卡介苗的兒童，8周后用兩批不同的結核菌素，一批是標準結核菌素，一批是新制結核菌素，分別注射在兒童的前臂，兩種結核菌素的皮膚浸潤反應平均直徑(mm)如表所示，問兩種結核菌素的反應性有無差別
X1 = [12,14.5,15.5,12,13,12,10.5,7.5,9,15,13,10.5]
X2 = [10,10, 12.5,13,10,5.5,8.5,6.5,5.5,8,6.5,9.5]
d = [2,4,3,-1,3,6.5,2,1,3.5,7,6.5,1]=39

• step1:建立假設檢驗以及檢驗水準：$H_0:u_d=0;H_1:u_d=0。\alpha =0.05$
• step2:計算統計量t:$\sum d=39、\sum d^2=195$
  $$t=\frac{\bar{d}}{S_d/\sqrt{n}}=\frac{39/12}{\sqrt{\frac{195?(39{)}^2/12}{12?1}}/\sqrt{1}2}=\frac{3.25}{2.4909/3.464}=4.5195$$
• step3:查表得$t_{0.05/2,11}=2.201$,由于t>$t_{0.05/2,11}$,拒絕H0,則認為結果有顯著性差異。

----------擴展------------

1.4、兩獨立樣本T檢驗(two independent sample t-test)

??兩獨立樣本t 檢驗，又稱成組 t 檢驗,適用于完全隨機設計的兩樣本均數的比較,其目的是檢驗兩樣本所來自總體的均數是否相等。

完全隨機設計是將受試對象隨機地分配到兩組中，每組患者分別接受不同的處理，分析比較處理的效應。

前提條件：兩獨立樣本t檢驗要求兩樣本所代表的總體服從正態分布N(μ1，$\sigma 1^2$)和N(μ2，$\sigma 2^2$)，且兩總體方差$\sigma 1^2$,$\sigma 2^2$相等,即方差齊性。若兩總體方差不等需要先進行變換。

??兩獨立樣本t檢驗的檢驗假設是兩總體均數相等,即H0：μ1=μ2, 統計量計算公式為：

$$t(v=n_1+n_2?2)=\frac{|{\bar{X}}_1?{\bar{X}}_2|}{S_{{\bar{X}}_1?{\bar{X}}_2}}$$

$$S_{{\bar{X}}_1?{\bar{X}}_2}=\sqrt{S_c^2(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}$$

$$S_c^2=\frac{\sum X_1^2?\frac{(\sum X_1{)}^2}{n_1}+\sum X_2^2?\frac{(\sum X_2{)}^2}{n_2}}{n_1+n_2?2}$$

$S_c^2$稱為合并方差（combined/pooled variance）

eg:25例糖尿病患者隨機分成兩組，甲組X1單純用藥物治療，乙組X2采用藥物治療合并飲食療法，二個月后測空腹血糖(mmol/L)如表所示，問兩種療法治療后患者血糖值是否相同？
X1 = [8.4,10.5,12.12,13.9,15.3,16.7,18,18.7,20.7,21.1,15.2]
X2 = [5.4,6.4,6.4,7.5,7.6,8.1,11.6,12,13.4,13.5,14.8,15.6,18.7]

• step1建立假設：$H_0:u_1=u_2$ $H_1:u_1=u_2$
• step2確定顯著性水平$\alpha =0.05$
• step3計算統計量：
  ??由原始數據得：$n_1=12,\sum X_1=182.5,\sum X_1^2=2953.43,n_2=13,\sum X_2=141.0,\sum X_2^2=1743.16,{\bar{X}}_1=\sum X_1/n_1=182.5/12=15.21,{\bar{X}}_2=\sum X_2/n_2=141/13=10.85$
  代入公式得：
  $$S_c^2=\frac{2953.43?\frac{(182.5{)}^2}{12}+1743.16?\frac{(141.0{)}^2}{13}}{12+13?2}=17.03$$
  $$S_{{\bar{X}}_1?{\bar{X}}_2}=\sqrt{17.03(1/12+1/13)}=1.652$$
  $$t=\frac{15.21?10.85}{1.652}=2.639,v=n_1+n_2?2=23$$
  查t界值表，$t_{0.05/2,23}=2.069$,由于t>$t_{0.05/2,23}$，p<0.05,拒絕H0,故認為兩種療法效果不同。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的统计基础：3.3_假设检验之t检验（Student‘s t test）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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