? ? 本文參考http://blog.csdn.net/ochangwen/article/details/50730937，

? ? 1.定義概覽
? ? Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）又稱為插點法是解決任意兩點間的最短路徑的一種算法，可以正確處理有向圖或負權的最短路徑問題，同時也被用于計算有向圖的傳遞閉包。Floyd-Warshall算法的時間復雜度為O(N3)，空間復雜度為O(N2)。
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? ? 2.算法描述：
? ? 1)算法思想原理：
? ? ?Floyd算法是一個經典的動態規劃算法。用通俗的語言來描述的話，首先我們的目標是尋找從點i到點j的最短路徑。從動?態規劃的角度看問題，我們需要為這個目標重新做一個詮釋（這個詮釋正是動態規劃最富創造力的精華所在），?從任意節點i到任意節點j的最短路徑不外乎2種可能，1是直接從i到j，2是從i經過若干個節點k到j。所以，我們假設
Dis(i,j)為節點u到節點v的最短路徑的距離，對于每一個節點k，我們檢查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，證明從i到k再到j的路徑比i直接到j的路徑
短，我們便設置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，這樣一來，當我們遍歷完所有節點k，Dis(i,j)中記錄的便是i到j的最短路徑的距離。
? ? 2).算法描述：
? ? ? ? a.從任意一條單邊路徑開始。所有兩點之間的距離是邊的權，如果兩點之間沒有邊相連，則權為無窮大。 　　
? ? ? ? b.對于每一對頂點 u 和 v，看看是否存在一個頂點 w 使得從 u 到 w 再到 v 比己知的路徑更短。如果是更新它。
? ? 3).Floyd算法過程矩陣的計算----十字交叉法
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? ?補充其中用到的十字交叉法如下：

? ??先來簡單分析下,由于矩陣中對角線上的元素始終為0,因此以k為中間點時,從上一個矩陣到下一個矩陣變化時,矩陣的第k行,第k列和對角線上的元素是不發生改變的（對角線上都是0，因為一個頂點到自己的距離就是0，一直不變；而當k為中間點時，k到其他頂點（第k行）和其他頂點到k（第k列）的距離是不變的）。

? ? 因此每一步中我們只需要判斷4*4-3*4+2=6個元素是否發生改變即可,也就是要判斷既不在第k行第k列又不在對角線上的元素。具體計算步驟如下：以k為中間點（1）“三條線”：劃去第k行，第k列，對角線（2）“十字交叉法”：對于任一個不在三條線上的元素x，均可與另外在k行k列上的3個元素構成一個2階矩陣，x是否發生改變與2階矩陣中不包含x的那條對角線上2個元素的和有關，若二者之和小于x，則用它們的和替換x，對應的Path矩陣中的與x相對應的位置用k來替代。。。

? ? 具體實例及代碼如下所示：

/** * @Title: Floyd.java * @Package dynamicprogramming * @Description: TODO * @author peidong * @date 2017-6-13 上午9:23:39 * @version V1.0 */ package dynamicprogramming; /** * @ClassName: Floyd * @Description: 弗洛伊德最短路徑算法 * @date 2017-6-13 上午9:23:39 * */ public class Floyd {public static void shorestFloyd(){int MAX_VALUE = 65535; int[][] edgesMatrix ={{0, 5, MAX_VALUE, 7}, {MAX_VALUE, 0, 4, 2}, {3, 3, 0, 2}, {MAX_VALUE, MAX_VALUE, 1, 0}}; int n = 4;//vertexSize; 結點個數 int[][] tc = new int[n][n]; //保存從i到j的最短路徑值 int[][] p = new int[n][n]; //保存經過的中間結點 //初始化tc,p for(int i = 0; i < n; i++){for(int j = 0; j < n; j++){p[i][j] = -1; tc[i][j] = edgesMatrix[i][j]; //便矩陣 }}//進行Floyd算法，從0到n-1所有可能進行遍歷 for(int x = 0; x < n; x++){ //x表示中間結點 for(int i = 0; i < n; i++){for(int j = 0; j < n; j++){if(tc[i][j] > tc[i][x] + tc[x][j]){tc[i][j] = tc[i][x] + tc[x][j]; p[i][j] = x; }}}}// 下面對獲得的結果進行展示 System.out.println("最短路徑狀態轉移矩陣為："); for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {System.out.print(" " + tc[i][j]); }System.out.println(); }System.out.println("對應的結點矩陣為："); for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {System.out.print(" " + p[i][j]); }System.out.println(); } // System.out.println("+++++++++++++++++++++++++++++++++++"); /* for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { System.out.println("輸出i=" + i + "到j=" + j + "最短路徑："); int k = p[i][j]; if (k == -1) { System.out.println("沒有最短路徑"); } else { System.out.print(" " + k); while (k != j) { k = p[k][j]; System.out.print(" " + k); } System.out.println(" "+k); System.out.println(); } } } */ }/** * @Title: main * @Description: 測試用例 * @param args * @return void * @throws */ public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stub shorestFloyd(); }}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的动态规划实例（十五）：最短路径Floyd的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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