統計學在科學研究中占有很重要的地位，機器學習中的很多內容也都是以統計學作為基礎的，為了更好的理解一些看起來虛無縹緲的統計學概念，我也查閱了很多資料，但是大多數講的并不那么通俗易懂，直到看到了“馬同學高等數學”對概率統計的概念的描述，感覺非常通俗易懂。為了方便以后復習查看有關統計學的概念，將馬同學的講解的內容在這里弄成了一個統計學概念專題。

首先聲明，此篇的內容是來自"馬同學高等數學"微信公眾號的內容。

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目錄

1、t檢驗的歷史

2、t檢驗的思路

2.1?戈斯特的分析：

3、t分布

參考文獻：? ?

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1、t檢驗的歷史

阿瑟·健力士公司（Arthur Guinness Son Co.）是一家由阿瑟·健力士（Arthur Guinness）于1759年在愛爾蘭都柏林建立的一家釀酒公司：

? ?1951年11月10日，健力士酒廠的董事休·比佛爵士（Sir Hugh Beaver）在愛爾蘭韋克斯福德郡打獵時，因為沒打中金鸻，于是和同行們爭論哪種鳥飛得最快，彼此爭論不休。由于當時的參考資料并不足以回答這個問題，這促使比弗想出版一本記載世界之最的書，這就是后來的《吉尼斯世界紀錄大全》。

還有一個讓健力士公司在歷史留名的，就是他的員工威廉·希利·戈斯特（1876－1937）：

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在健力士公司，戈斯特提出了t檢驗以降低啤酒質量監控的成本，但健力士酒廠為了保護公司的商業機密和智慧財產，明文禁止員工發表文章。戈斯特并沒有因為這項規定而放棄他的學術研究發表，他在《生物統計期刊》以“學生”（The Student）為筆名，發表了關于t檢驗的文章，所以t檢驗又稱為“學生t檢驗”。直到1937年，戈斯特因心臟病去世之前，健力士酒廠一直不知道戈斯特從事統計研究工作，并以“學生”筆名發表研究成果。許多統計研究者要和戈斯特見面，都必須像間諜電影般地秘密安排見面地點和時間。現在位于都柏林的健力士專賣店中有一個戈斯特的紀念碑，上面寫著“化學家、統計學家威廉·希利·戈斯特，首席釀酒師，學生t檢驗”：

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2、t檢驗的思路

啤酒，主要原料是大麥，啤酒廠肯定是希望盡力提高畝產。比如，健力士公司有下面兩塊麥田：

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左邊的麥田采用傳統A工藝進行種植，平均每株大麥可以結100粒穗子。而右邊的麥田采用改進過的B工藝種植，健力士公司想知道“B工藝是否提高了產量”。為了節約成本、減小損耗，摳門的健力士公司從B工藝的麥田中采樣了5株大麥，樣本均值為120粒穗子。然后把難題拋給了戈斯特。似乎直觀看來產量提高了，畢竟均值增加了20%，可是戈斯特想得更多一些。

2.1?戈斯特的分析：

戈斯特提出一個假設檢驗：

• 假設：B工藝沒有提高產量，即AB下的麥穗都是同一個分布

• 檢驗：看看在此假設下，??發生的概率高不高

已知的數據是，A工藝下的單株麥穗的個數服從,標準差未知的正態分布：

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而B工藝下的麥田的樣本均值,樣本數為5株，早在學習概率論知識時我們就知道，不同的標準差對應的正態分布的圖像是不同的：

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標準差越大，說明數據越分散，那么曲線的跨度就越大，曲線顯得更加‘矮胖’；反之標準差越小，說明數據越集中，跨度越小，曲線顯得更加‘高瘦’。

X如果服從正態分布,這里,跨度不大，采樣5個點使其圖像如下：

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由此可見，的概率非常低，即AB下的麥穗是同一個分布的可能性不大，我們有很大把握可以認為B工藝真正提高了產量。

而如果X服從的是跨度更大的正態分布，采樣五個點使其的圖像如下（為了演示，正態分布的參數選的不是很嚴謹）：

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這樣的正態分布下，的概率并不低，即AB下的麥穗還是可能為同一個分布的，我們沒十足的把握認為B工藝提高了產量。因此，看起來不能單純依靠??，或許除以樣本標準差 s可以消除跨度的影響：

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因為A工藝的??我們不清楚，但是我們假設AB同分布，所以直接使用了樣本標準差?s。當然，樣本數?n?也會影響結果。比如說，在 n =1000?下，得到??，那么根據大數定理，我們不用算了，基本上可以認為“B工藝提高了產量”。

所以，戈斯特認為應該綜合考慮樣本均值??、樣本方差?s?和樣本數?n?，給出了一個統計量t值：

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該統計量越大說明AB工藝導致的差別越大，越有可能說明“B工藝提高了產量”。

3、t分布

對于t值：，對應的概率密度函數，也就是t分布為：

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其中，也叫做自由度。而??為伽馬函數。

接近于正態分布（灰色曲線表示正態分布），下面是的t分布

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而t值，實際上對應的就是橫坐標的值，比如說t值等于4：

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t=4之后的曲線下面積其實就是P值:

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所以，我們知道t值之后，就可以根據??以及要求的P值，查出當前的t值是否會拒絕我們的假設。

?舉個例子，比如本文中的AB工藝下的數據為：

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計算出來：

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服從?的t分布：? ? ??

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如果我們要求?5%?的顯著水平的話(下兩篇講解P值和置信區間)，那么就可以拒絕“B工藝沒有提高產量”這個假設了，也就是說，B工藝使得產量提高了。? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

參考文獻：? ?

如何理解t檢驗、t分布、t值? ? ??https://mp.weixin.qq.com/s/SX-Pv8R_0s7adkNxdP_uvw

總結

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