GCD（get Greatest Common Divisor）獲得最大公約數的方法。

輾轉相除法

輾轉相除法， 又名歐幾里得算法，該算法的目的是求出兩個正整數的最大公約數。它是已知最古老的算法， 其產生時間可追溯至公元前 300 年前。

定理：兩個正整數 a 和 b (a>b)，它們的最大公約數等于a除以 b的余數 c 和 b 之間的最大公約數。

例如：求10 和 25的最大公約數，可以先求25除以10商2余5，那么10和25的最大公約數，等同于10和5的最大公約數，依次類推。

代碼實現：

//迭代，輾轉相除法 public static int gcd(int a, int b) {//判斷a和b誰大if (a < b) {a ^= b;b ^= a;a ^= b;}int sum = a % b;while (sum != 0) {a = b;b = sum;sum = a % b;}return b; }//遞歸，輾轉相除法 public static int gcd2(int a, int b) {if (a < b) {a ^= b;b ^= a;a ^= b;}if (a % b == 0) {return b;}return gcd2(b, a % b); }

更相減損術

更相減損術也是一種求最大公約數的算法。

原理：兩個正整數a和b(a>b)，它們的最大公約數等于 a-b 的減值c和較小數b的最大公約數。

例如：求10 和 25的最大公約數，可以先求25減10的差是15，那么10和25的最大公約數，等同于10和15的差，依次類推。

代碼實現：

//迭代，更相減損術 public static int gcd3(int a, int b) {if (a < b) {a ^= b;b ^= a;a ^= b;}int sum = a - b;while (sum != 0) {a = b;b = sum;sum = a - b;}return b; }//遞歸，更相減損術 public static int gcd4(int a, int b) {if (a < b) {a ^= b;b ^= a;a ^= b;}if (a - b == 0) {return b;}return gcd4(b, a - b); }

位運算優化

a和b的4種情況分析：

當a和b均為偶數時，gcd(a,b) = 2 * gcd(a / 2 , b / 2) = 2 * gcd(a >> 1, b >> 1)；

當a為偶數，b為奇數時，gcd(a, b) = gcd(a / 2, b) = gcd(a >> 1, b)；

當a為奇數，b為偶數時，gcd(a, b) = gcd(a, b / 2) = gcd(a, b >> 1)；

當a和b均為奇數時，先用更相減損術運算一次，gcd(a, b) = gcd(b, a - b)，這時 a - b一定是偶數，然后就可以繼續使用位運算。

例如：求10和25的最大公約數步驟如下。

• 整數10通過移位，可以轉換成求5和25的最大公約數。
• 利用更相減損術，計算出25?5=20，轉換成求5和20的最大公約數。
• 整數 20通過移位，可以轉換成求5和10的最大公約數。
• 整數 10通過移位，可以轉換成求5和5的最大公約數。
• 利用更相減損術，因為兩數相等，所以最大公約數是 5。

代碼實現：

public static int gcd5(int a, int b) {//a,b相等直接返回if (a == b) {return b;}//四種情況if ((a & 1) == 0 && (b & 1) == 0) {// a,b都為偶數return gcd5(a >>> 1, b >>> 1) << 1;// 等價于 gcd5(a/2,b/2)*2} else if ((a & 1) == 0 && (b & 1) == 1) {// a為偶數,b為奇數return gcd5(a >>> 1, b);} else if ((a & 1) == 1 && (b & 1) == 0) {// a為奇數,b為偶數return gcd5(a, b >>> 1);} else {//都為奇數//進行一次更相減損術,求絕對值return gcd5(b, Math.abs(a - b));} }

時間復雜度分析

• 暴力枚舉法：時間復雜度是 O(min(a,b))。
• 輾轉相除法：時間復雜度不太好計算，可以近似為 O(log(max(a,b)))，但是取模運算性能較差。
• 更相減損術：避免了取模運算，但是算法性能不穩定，最壞時間復雜度為 O(max(a,b))。
• 更相減損術與移位相結合：不但避免了取模運算，而且算法性能穩定，時間復雜度為 O(log(max(a,b)))。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的GCD算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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