Floyd不同于Dijkstra，可以得到所有點對的最短路徑。使用的是DP

Floyd可以處理有負權重邊的情況

遞推公式：w(i, j) = min{w(i, j), w(i, k) + w(k, j)}，含義是【i到j的最短距離】=【i到k的最短距離+k到j的最短距離】與【i到j的最短距離】中較小的那一個

看起來很簡單，但是具體怎么計算呢？

依舊使用這個例子，圖的表示方式為：

[[0, 7, 9, max, max, 14],[7, 0, 10, 15, max, max],[9, 10, 0, 11, max, 2],[max, 15, 11, 0, 6, max],[max, max, max, 6, 0, 9],[14,max, 2, max, 9, 0]] 可以看出，w(i, i) = 0。這就是突破口了。

當k=0時，w(0, j)=min{w(0,0)+w(0,j), w(0,j)}；w(i,0)=min{w(i,0)+w(0,0), w(i,0)}，是不用更新的。當然，k不為0的時候，需要更新w(0,j)和w(i,0)

類似的，可以得到w(k,j)和w(i,k)不用更新。也就是說，和k相同行、列不用更新。

用圖做個例子：求圖中藍色的值w(4,2)

w(4,2) = min{w(4,2) + 紅色兩個格子的和+綠色兩個格子的和+紫色兩個格子的和+薄荷色兩個格子的和}

1. 可以看出k=2和k=4的時候，更新時沒有意義的。

2. 可以看出，計算過程其實就是畫一個(k,k)-(4,2)的方框，比較w(4,2)和方框的另外兩個頂點w(4,k)+w(k,2)的大小。當然，這個時候w(4,k)和w(k,2)應該也是最優的解。

所以明顯不能以i,j,k的loop順序遍歷。

那么試一下以k,i,j的loop順序遍歷呢？

這里有個很取巧的點：

1. 當k=0的時候，第一行、第一列已經是k=0的最優解了（還記得前面的結論嗎）

2. 當k=0的時候，其他的行、列只用取第一行、第一列的數據

也就是說，當k=0的時候，遍歷完整張圖，能得到k=0的情況下dp算法的最優解：當且僅當中間節點編號<=0的時候，點i到點j的最近值

繼續證明k=x的情況下最優解已經得到，k=x+1時繼續遍歷，能否得到k=x+1的最優解？

1. k=x+1的時候，第x+1行、第x+1列已經是k<=x+1的最優解了（k=x+1時，不用更新第x行、第x列）

2. k=x+1的時候，其他的行、列只會讀取第x+1行、第x+1列的數據

因此當k=x+1時，遍歷完整張圖，能得到k=x+1的情況下dp算法的最優解。

證明完畢

以上的證明過程也就是“十字交叉算法”的原理了。

感興趣的同學可以網上搜一下，瞬間即懂

def floyd(graph):# graph:n*n matrix# find min distance from start_node to end_nodelength = len(graph)for k in xrange(0, length):for i in xrange(0, length):for j in xrange(0, length):graph[i][j] = min(graph[i][k] + graph[k][j], graph[i][j])return graph

時間復雜度O(n^3)

驅動

graph = [[0, 7, 9, max_int, max_int, 14],[7, 0, 10, 15, max_int, max_int],[9, 10, 0, 11, max_int, 2],[max_int, 15, 11, 0, 6, max_int],[max_int, max_int, max_int, 6, 0, 9],[14, max_int, 2, max_int, 9, 0]] print floyd(graph)

附錄：

打印出最短路徑

def floyd(graph):# graph:n*n matrix# find min distance from start_node to end_nodelength = len(graph)pre_node = [[-1 for i in xrange(0, length)] for j in xrange(0, length)]for k in xrange(0, length):for i in xrange(0, length):for j in xrange(0, length):dist = graph[i][k] + graph[k][j]if dist < graph[i][j]:graph[i][j] = distpre_node[i][j] = kprint "pre_node", pre_nodereturn graph

總結

以上是生活随笔為你收集整理的最短路径算法----Floyd-warshall（十字交叉算法证明）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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