概率分布介紹：泊松分布

• • 泊松分布 (Poisson Distribution)
  • • 定義
    • 代碼
  • 為什么泊松不得不發明泊松分布?
  • 為什么非得是泊松分布的形式呢？
  • • 二項分布
    • 二項分布的缺點
    • • 1. 二項隨機變量$x$是只有0或1
      • 2. 二項分布中，實驗次數$n$應該提前知道
  • 泊松分布的公式推導
  • 泊松分布的特點
  • 函數圖像
  • 參考

泊松分布 (Poisson Distribution)

定義

假設在一定時間間隔 (interval)中一個事件可能會發生0,1,2,…次，在一個間隔中平均發生事件的次數由$\lambda$決定，$\lambda$是事件發生比率 (event rate)。在一定時間間隔中發生$k$次事件的概率如下：

$P(k\text{?events?in?interval?})=e^{?\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}$

代碼

使用from scipy import stats; stats.poisson.pmf(x,mu)

為什么泊松不得不發明泊松分布?

當時主要的問題是預測未來中發生事件的次數，更正式地說，預測在固定間隔的時間里，預測該事件發生n次的概率。

“事件”可理解為一天中訪問你網站的訪客數、一天中所接到的電話數。

為什么非得是泊松分布的形式呢？

例如：每周平均有15個人給我的博客點贊，我想預測下一周的點贊數。假設現在并不知道泊松分布，如何解決？可以試試二項分布 ([[Binomial Distribution]])

二項分布

如果使用二項分布來解決，令$x$表示在$n$次重復實驗中發生點贊的次數，$p$表示每次實驗的點贊概率(Probability)。我們現在已知的是每周平均的點贊比率(rate)為15個贊/周，并不知道點贊概率$p$和博客訪客數$n$的任何信息。

因此，我們需要得到更多的信息$p$和$n$，來建模成二項分布問題。

假設過去的1年(=52周)的數據中，一共有10000人看了我的博客，其中有800個人點贊了。這樣平均每周訪客數=$10000/52=192$，平均每周點贊數=$800/52=15$。可得到概率$p=800/10000=0.08=8\%$

使用二項分布的概率質量函數 (Probability Mass Function)，可預測下一周有20個人點贊的概率為：
$\text{Bin}(m=20\mid N=192,p=0.08)=\frac{N!}{(N?m)!m!}{p}^m(1?p{)}^{N?m}=0.04657$

二項分布的缺點

1. 二項隨機變量$x$是只有0或1

上面的過程中，可以將$x$=該周有15次點贊；也可以是$x$=該天有(15/7)=2.1個贊；也可以是$x$=該小時有(15/7*24)=0.1個贊。這意味著大多數小時沒有贊，而有的小時有一個點贊。仔細想想，似乎一定時間內出現超過1個點贊的情況也是合理的（比如文章早上剛發布的時候）。由此，二項分布的問題是它無法在一個時間單元中包含超過1次的事件。（在這里，時間單元是1小時）

那么，我們將1小時切分成60分鐘，時間單元是1分鐘，使得1小時能夠包含多個事件。問題得到解決了嗎？還沒有，比如何同學的5G視頻，一晚上點贊就過百萬，1分鐘內不止一個贊。那我們再將時間單元切分成秒，這樣1分鐘又能包含多個事件。這樣思考下去，我們會將已有的事件單元不斷地切分，直到滿足一個時間單元只包含一個事件，而大的時間單元能夠包含1個以上的事件。

形式化來看，這意味著$n\to \infty$，當我們假定比率(rate)固定，則必須讓$p\to 0$。否則，點贊數$n\times p\to \infty$

基于以上的約束，時間單元變得無窮小。我們不用擔心同一個時間單元包含一個以上的事件了。

2. 二項分布中，實驗次數$n$應該提前知道

在用二項分布時，無法直接用比率(rate)來計算點贊概率$p$，而是需要$n$和$p$才能使用二項分布的概率質量函數。而泊松分布不需要知道$n$和$p$。它假定了$n$是一個無窮大的數，而$p$是無窮小的數。泊松分布的唯一參數是比率$\lambda$（即$x$的期望）。現實中，得知$n$和$p$得進行很多次實驗，而短時間內，比率（rate）很容易得到（例如，在下午2點-4點，收到了4個點贊）。

泊松分布的公式推導

泊松分布的特點

泊松分布可看作是對稀有事件的建模，其中的比率$\lambda$可以是任意的，但通常不要太小。

泊松分布是非對稱的，通常往右偏移。

$\lambda$越大，分布圖像越像一個正態分布。圖像來自wiki

泊松分布的假設（什么情況適合用泊松分布建模）

每個時間單元的事件平均發生比率是常數

例如：博客的每小時平均點贊數不太可能服從泊松分布，而博客每個月的平均點贊數可近似看作是固定的

事件是獨立的

假如你的博客寫的很好，被公眾號轉發推廣了，那可能會有大批的讀者來閱讀，這種情況下的點贊數就不滿足泊松分布了。

泊松分布和指數分布的關系

若每個時間單元發生事件的次數服從泊松分布，那么兩次事件發生間等待的時間服從指數分布。泊松分布是離散的，而指數分布是連續的，這兩個分布緊密相關。

函數圖像

import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from scipy import stats# Create x and y x = np.arange(35) y1 = stats.binom.pmf(x, 192, 0.08) y2 = stats.poisson.pmf(x,10) y3 = stats.poisson.pmf(x,17) y4 = stats.poisson.pmf(x,20) # Create the plot fig, ax = plt.subplots() plt.plot(x, y1, label='binomial(N=192, mu=0.08)', linewidth=3, color='black') plt.plot(x, y2, label='poisson(mu=10)', linewidth=3, color='royalblue') plt.plot(x, y3, label='poisson(mu=17)', linewidth=3, color='orange') plt.plot(x, y4, label='poisson(mu=25)', linewidth=3) # Make the x=0, y=0 thicker # ax.set_aspect('equal') ax.grid(True, which='both') ax.axhline(y=0, color='k') ax.axvline(x=0, color='k') # Add a title plt.title('Probability Mass Function', fontsize=20) # Add X and y Label plt.xlabel('x', fontsize=16) plt.ylabel('f(x)', fontsize=16) # Add a grid # plt.grid(alpha=.4, linestyle='--') # Add a Legend plt.legend(bbox_to_anchor=(1, 1), loc='best', borderaxespad=1, fontsize=12) # Show the plot plt.show()

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參考

Poisson Distribution — Intuition, Examples, and Derivation

總結

以上是生活随笔為你收集整理的概率分布介绍：泊松分布的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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