定義

一般定義

設(shè)有定義域和取值都在實(shí)數(shù)域中的函數(shù)y=f(x)。若f(x) 在點(diǎn)

??

的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，則當(dāng)自變量x在x0處取得增量

??

（點(diǎn)

??

仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地y取得增量

??

；如果

??

與

??

之比當(dāng)

??

時(shí)的極限存在，則稱函數(shù)y=f(x) 在點(diǎn)

??

處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù) y=f(x)在點(diǎn)

??

處的導(dǎo)數(shù)，記為

??

，即：?[3]?

對(duì)于一般的函數(shù)，如果不使用增量的概念，函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)也可以定義為：當(dāng)定義域內(nèi)的變量x趨近于x0?時(shí)，也可記作

??

或者

??

的極限。也就是說(shuō)，

幾何意義

當(dāng)函數(shù)定義域和取值都在實(shí)數(shù)域中的時(shí)候，導(dǎo)數(shù)可以表示函數(shù)的曲線上的切線斜率。如右圖所示，設(shè)P0為曲線上的一個(gè)定點(diǎn)，P為曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。當(dāng)P沿曲線逐漸趨向于點(diǎn)P0時(shí)，并且割線PP0的極限位置P0T存在，則稱P0T為曲線在P0處的切線。[1]?

若曲線為一函數(shù)y=f(x)的圖像，那么割線PP0的斜率為：

當(dāng)P0處的切線P0T，即PP0的極限位置存在時(shí)，此時(shí)

??

，則P0T的斜率

??

為：

上式與一般定義中的導(dǎo)數(shù)定義完全相同，也就是說(shuō)

??

，因此，導(dǎo)數(shù)的幾何意義即曲線y=f(x)在點(diǎn)

?

處切線的斜率。

　　

圖1.幾何意義

性質(zhì)

單調(diào)性

一階導(dǎo)數(shù)表示的是函數(shù)的變化率，最直觀的表現(xiàn)就在于函數(shù)的單調(diào)性

圖2.單調(diào)性

定理：設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在（a,b)內(nèi)具有一階導(dǎo)數(shù)，那么：

（1）若在(a,b)內(nèi)f'(x)>0,則f(x)在[a,b]上的圖形單調(diào)遞增；

（2）若在(a,b)內(nèi)f’(x)<0,則f(x)在[a,b]上的圖形單調(diào)遞減；

（3）若在(a,b)內(nèi)f'(x)=0,則f(x)在[a,b]上的圖形是平行（或重合）于x軸的直線，即在[a,b]上為常數(shù)。?[3]?

在右圖可以直觀的看出：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是一點(diǎn)上的切線的斜率。當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增時(shí)，斜率為正，函數(shù)單調(diào)遞減時(shí)，斜率為負(fù)。

導(dǎo)數(shù)與微分

微分也是一種線性描述函數(shù)在一點(diǎn)附近變化的方式。微分和導(dǎo)數(shù)是兩個(gè)不同的概念。但是，對(duì)一元函數(shù)來(lái)說(shuō)，可微與可導(dǎo)是完全等價(jià)的。可微的函數(shù)，其微分等于導(dǎo)數(shù)乘以自變量的微分dx，換句話說(shuō)，函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。因此，導(dǎo)數(shù)也叫做微商。函數(shù)y=f(x)的微分又可記作dy=f'(x)dx。?[3]?

可導(dǎo)的條件

如果一個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，即函數(shù)在實(shí)數(shù)域上都有定義，那么該函數(shù)是不是在定義域上處處可導(dǎo)呢？答案是否定的。函數(shù)在定義域中一點(diǎn)可導(dǎo)需要一定的條件。首先，要使函數(shù)f在一點(diǎn)可導(dǎo)，那么函數(shù)一定要在這一點(diǎn)處連續(xù)。換言之，函數(shù)若在某點(diǎn)可導(dǎo)，則必然在該點(diǎn)處連續(xù)。

可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)，不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。

例子

欲求函數(shù)

在x=3處的導(dǎo)數(shù)。可以先求出其導(dǎo)函數(shù)：

其中第二項(xiàng)使用了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，而第三項(xiàng)則使用了乘積的求導(dǎo)法則。求出導(dǎo)函數(shù)后，再將x=3代入，得到導(dǎo)數(shù)為：

總結(jié)

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