快速傅里葉變換（FFT）詳解

　　（這是我第一次寫博，不喜勿噴...）

　　關于FFT已經聽聞已久了，這次終于有機會在Function2的介紹下來了解一下FFT了。

　　快速傅里葉變換(Fast Fourier Transformation)簡稱FFT。在各大OI競賽中也常有用到，也是一個十分優秀的可以裝逼的好算法

　　在這篇blog中，有大量數學推導，因為我懶得寫公式（好復雜，逃），所以用圖片代替了╮(╯▽╰)╭，如有不適，望見諒（逃~~）。

?基礎知識：

多項式的度數：

多項式的線性空間

系數表達

?

向量的卷積

?

分治乘法（如果你急著和MM約會或機房要關門了，那跳過也無妨）

點值表達

?

插值

?

?

點值計算分析

?單位復數根

?

單位復數根的性質

消去引理

　　　　

　　2.折半引理

　　　　

　　3.求和引理

　　　　

?

鋪墊都鋪完了，讓我們一起進入DFT,FFT,IDFT的美妙世界吧！

離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform 簡稱DFT）

?快速傅里葉變換（FFT）（終于等到你~~）

?

?

逆離散傅里葉變換（Inverse Discrete Fourier Transform 簡稱IDFT）

?FFT的迭代實現

我們類似于需要像這樣實現FFT：

知識點終于講完了，接下來我們就要開始寫板子了

板子題：uoj #34

代碼附上~~

1 #include<cstdio>2 #include<iostream>3 #include<cmath>4 #include<cstring>5 #include<algorithm>6 #include<cstdlib>7 using namespace std;8 const int mod=1e9+7;9 const double pi=acos(-1); 10 struct cn 11 { 12 double x,y; 13 cn (double x=0,double y=0):x(x),y(y) {} 14 }a[300005],b[300005],c[300005]; 15 cn operator + (const cn &a,const cn &b) {return cn(a.x+b.x,a.y+b.y);} 16 cn operator - (const cn &a,const cn &b) {return cn(a.x-b.x,a.y-b.y);} 17 cn operator * (const cn &a,const cn &b) {return cn(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);} 18 void fft(cn a[],int n,int l,int f) 19 { 20 int rev[n+5]; 21 rev[0]=0; 22 for (int i=1; i<n; i++){ 23 rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<l-1); 24 if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]); 25 } 26 for (int i=1; i<n; i<<=1){ 27 cn wi(cos(pi/i),f*sin(pi/i)); 28 for (int j=0; j<n; j+=i*2){ 29 cn w(1,0); 30 for (int k=0; k<i; k++){ 31 cn x=a[j+k],y=w*a[j+k+i]; 32 a[j+k]=x+y; 33 a[j+k+i]=x-y; 34 w=w*wi; 35 } 36 } 37 } 38 if (f==-1) 39 for (int i=0; i<n; i++){ 40 a[i].x/=n; a[i].y/=n; 41 } 42 } 43 int main() 44 { 45 int n,m; 46 scanf("%d%d",&n,&m); n++; m++; 47 for (int i=0; i<n; i++) scanf("%lf",&a[i].x); 48 for (int i=0; i<m; i++) scanf("%lf",&b[i].x); 49 int l=0,N=1; 50 while (N<n+m-1) N<<=1,l++; 51 fft(a,N,l,1); 52 fft(b,N,l,1); 53 for (int i=0; i<N; i++) c[i]=a[i]*b[i]; 54 fft(c,N,l,-1); 55 for (int i=0; i<n+m-1; i++) printf("%d ",(int)(c[i].x+0.5)); 56 return 0; 57 }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的快速傅里叶变换（FFT）详解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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