聲明：???????
???????這篇文章的主要目的是通過建立一維傅里葉變換與圖像傅里葉變換中相關(guān)概念的對應(yīng)關(guān)系來幫助讀者理解圖像處理中的離散傅里葉變換，因此，理解圖像中離散傅里葉變換的前提條件是讀者需要了解一維傅里葉變換的基本知識，詳情可參考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358

基本數(shù)學(xué)概念的對應(yīng)關(guān)系：
???????一維傅里葉變換的作用對象是信號，信號是一維連續(xù)的，其數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式如圖1所示,該圖反應(yīng)的是隨著時間不斷推移，信號強(qiáng)度的變換情況，可稱為時域:

圖1
???????而圖像處理中的傅里葉變換的作用對象是二維矩陣。二維矩陣的數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式如下圖所示，反應(yīng)了隨著位置的不斷改變，灰度值大小的變化情況。我們在此將其稱為“距離-灰度變化圖”：

圖2
???????從正面看去，由x軸與灰度值軸構(gòu)成的切面圖如圖3所示:

圖3
???????圖3與圖1的本質(zhì)是類似的，都是一個自變量一個因變量。因此可以構(gòu)成對應(yīng)關(guān)系：時間<->距離、信號強(qiáng)度<->灰度值。

傅里葉變換結(jié)果的對應(yīng)關(guān)系：
???????一維傅里葉變換的原理可以通俗的理解為：將一個復(fù)雜無規(guī)律的信號拆分成多個簡單有規(guī)律的子信號來表示（如果對泰勒展開有深刻的理解的話，可以將傅里葉變換理解為將任意一個函數(shù)分解為任意個多項式的組合）。如圖4所示。

圖4
???????為了定量表示這個結(jié)果，我們用下圖進(jìn)行表達(dá)。其中，橫軸為頻率大小，縱軸為振幅（即信號的最高強(qiáng)度），該圖可稱為頻譜。

圖5
???????通過觀察頻譜，我們可以發(fā)現(xiàn)，頻譜中的每個點(diǎn)在時域中都對應(yīng)一個函數(shù)（這個特點(diǎn)很重要，說明了頻譜和時域的對應(yīng)關(guān)系是點(diǎn)與線）。

???????因此，通過類比，可將圖像處理中傅里葉變換理解為：將一個復(fù)雜無規(guī)律的圖像拆分成多個簡單有規(guī)律的子圖像來表示（此處畫圖太麻煩，請讀者自行發(fā)揮想象力對圖4中的眾多子信號，想象成不斷起伏的平面）。

???????那要如何定量表達(dá)眾多分解后的子圖像呢？

???????我們先來看一下圖像傅里葉變換后的表現(xiàn)形式，即圖像的“頻譜”。

???????現(xiàn)在，我們就通過類比，來理解這上幅圖中的各個方向的自變量到底對應(yīng)信號頻譜中的哪個變量。

???????在信號的頻譜中，頻率的定義為：單位時間內(nèi)完成周期性變化的次數(shù)。而在上文“基本數(shù)學(xué)概念的對應(yīng)關(guān)系”中，我們已經(jīng)將時間和距離對應(yīng)起來了。那么此處只需要將頻率定義中的“時間”換成“距離”即可。最終得到用于表達(dá)圖像傅里葉變換結(jié)果的“頻譜”中頻率的定義：單位距離內(nèi)完成周期性變化的次數(shù)。由于圖像中表達(dá)距離的單位是像素大小，所以對這個定義進(jìn)一步可理解為：N個像素內(nèi)灰度值完成周期性變化的次數(shù)。因此我們就成功的將圖像“頻譜”和信號“頻譜”中的自變量聯(lián)立起來了。在信號頻譜中的頻率是x(橫)軸，而在圖像的頻譜中頻率是(xy軸構(gòu)成的)平面。距離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，則說明頻率越大。因此，窗口邊緣處即為高頻區(qū)域，原點(diǎn)周邊即為低頻區(qū)域。

注意：上文提到了對于信號來說，頻譜中的一個點(diǎn)對應(yīng)子信號時域中的一條線。通過類比，我們可以得出結(jié)論：圖像頻譜中的一個點(diǎn)對應(yīng)子圖像的一整張距離-灰度變化圖。（而圖像傅里葉變換的數(shù)學(xué)公式也反應(yīng)了這個特點(diǎn)）

???????同樣的，信號頻譜中的y軸反應(yīng)子信號，信號強(qiáng)度的變化范圍，而圖像頻譜中的z軸反應(yīng)子圖像的灰度值的變化范圍。頻譜窗口中對應(yīng)的點(diǎn)越亮，則說明該點(diǎn)對應(yīng)頻率的變化范圍越大。

總結(jié)與舉例：
???????綜上，可對圖像頻譜進(jìn)行解讀：

???????距離原點(diǎn)越遠(yuǎn)=頻率越高=原圖中灰度值的變化越頻繁。

???????灰度值越大=幅值越大=原圖中灰度值變化的范圍越大。

???????因此，低通濾波能保留圖像的大致輪廓信息是因?yàn)?#xff0c;一張圖像所記錄到的主要信息（由于受到關(guān)照等必然因素的影響）在圖像上灰度值的變化是緩慢的，因此主要信息集中在低頻區(qū)域。而噪音等偶然因素是突然附加到圖像上使得灰度值快速變化，而且密密麻麻，這導(dǎo)致N個像元內(nèi)，灰度值的變化不僅頻繁，而且變化的范圍還很大。因此，噪音就位于圖像頻譜的高頻區(qū)域，表現(xiàn)為高灰度值。
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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的图像处理：如何理解傅里叶变换在图像处理中的应用的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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