1.首先回顧一下一維FT

通俗來講，一維傅里葉變換是將一個一維的信號分解成若干個三角波。

對于一個三角波而言，需要三個參數來確定它：頻率,幅度 A ，相位。因此在頻域中，一維坐標代表頻率，而每個坐標對應的函數值也就是是一個復數，其中它的幅度就是這個頻率三角波的幅度 A ，相位就是?。下圖右側展現的只是幅度圖，在信號處理中用到更多的也是幅度圖。

2.類比：從一維到二維

一維信號是一個序列，FT將其分解成若干個一維的簡單函數（三角波）之和。二維的信號可以說是一個圖片，類比一維，那二維FT是不是將一個圖片分解成若干個簡單的圖片呢？

確實是這樣，二維FT將一個圖像分解成若干個三角平面波之和。如下圖：

對于三角平面波，可以這樣理解，在一個方向上存在一個三角函數，在法線方向上將其拉伸。前面說過三個參數可以確定一個一維的三角波。哪幾個參數可以確定一個二維的三角平面波呢？答案是四個，其中三個和一維的情況一樣（頻率?,幅度 A ，相位?），但是具有相同這些參數的平面波卻可以有不同的方向。如下圖所示：

兩個不同方向的平面波疊加

3.二維頻率域K-SPACE

在一維中由于分解后的參數只要三個，所以用一個序列就能存儲它：下標表示頻率，存儲的內容表示此頻率的三角波的幅度和相位。而對于二維FT變換后的平面波有四個參數，那怎末來保存呢？

類比一維中，幅度和相位可以用一個復數表示，它可以作為我們存儲的內容。但是還有兩個：一個頻率一個方向。這時想到向量是有方向的，也是有長度的。所以我們用一個二維的矩陣的來保存分解之后得到的信息。這個矩陣就是K空間。（一般用k來表示空間頻率，單位是1/m）

什么意思呢？就是說一個二維矩陣點代表這個平面波的法向量，這個向量的模代表這個平面波的頻率?，這個點里面保存的內容復數就是此平面波的幅度和相位。下面這個圖很好的體現了這一點：

也因此K空間的中心對于低頻，周圍對于高頻。如下圖，K空間中只有（0，0）處有值，也就是信號都是直流即不存在變化，所以實空間就是一張白紙。

再如下面這個圖片，中心低頻貢獻了圖像的主體，周圍高頻提供圖像的細節和邊緣。

4.關于K空間

在一維FT變換后，頻域呈現對稱性，也就前半段代表（0，fs/2），而后半段代表（-fs/2，0）。在二維中也是如此。因此為了方便理解，一般會對圖像進行fftshift，將其交叉替換，將0頻移至中心。另外，K空間也具有共軛對稱性。

下面這個圖像顯示了二維傅里葉變換中，實空間旋轉多少，頻率空間也會相應旋轉多少。這其實是高維傅里葉變換縮放定理的一種特殊情況。

5.二維傅里葉變換公式

上式為二維FT的公式。可以證明的實部也就是是一個三角平面波。也就是說，二維FT的公式就是將與每個不同方向不同頻率的平面波做積分，求出這個基的系數。至于為什么這樣可以，就要涉及到正交基、內積、線性空間的知識了。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的二维傅里叶变换是怎么进行的？的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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