? 我剛開(kāi)始學(xué)傅氏變換也有這樣的疑問(wèn)！ 首先回答問(wèn)題一：為什么一個(gè)實(shí)信號(hào)經(jīng)過(guò)傅氏變換后，再反變換回來(lái)得到的是一個(gè)復(fù)數(shù)。 這是由于matlab計(jì)算引起的，你在計(jì)算傅氏反變換后引入了復(fù)數(shù)，最后反變換的結(jié)果肯定也是復(fù)數(shù)。 問(wèn)題二：傅氏變換后的實(shí)部和虛部有啥意義？ 傅氏變換的思想就來(lái)自于高等數(shù)學(xué)里面的三角級(jí)數(shù)展開(kāi)，高等數(shù)學(xué)里面的級(jí)數(shù)展開(kāi)理論是：對(duì)于有限區(qū)間上的有限信號(hào)，都可以展開(kāi)成以一系列不同正弦和余弦函數(shù)的疊加（就是用不同頻率的正余弦信號(hào)分量疊加就得到了該原始信號(hào)）。傅氏變換后得到的復(fù)數(shù)，實(shí)部就代表該頻率下的余弦信號(hào)分量，虛部就代表該頻率下的正弦信號(hào)分量。 問(wèn)題三：復(fù)數(shù)的模和相位有啥意義？ 傅氏變換后得到的復(fù)數(shù)的模就是該頻率下對(duì)應(yīng)的正弦信號(hào)的振幅和余弦信號(hào)的振幅的絕對(duì)值的平方在開(kāi)根。相位的意義就是該模乘以這個(gè)相位角的余弦值就得到了該頻率下的余弦信號(hào)的振幅，乘以正弦值就得到了該頻率下的正弦信號(hào)的振幅。

說(shuō)到頻譜，必須提到一個(gè)概念

傅里葉變換：很通俗的理解這個(gè)概念是怎么理解呢？傅里葉變換是將時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)轭l域信號(hào)。

什么是時(shí)域信號(hào)？
時(shí)域信號(hào)：通俗的理解為 隨時(shí)間變化的量，注意變量是時(shí)間。

什么是頻域信號(hào)？
頻域信號(hào)：相對(duì)于時(shí)域信號(hào)的理解，那就是可以很簡(jiǎn)單的認(rèn)為變量是 隨頻率變化的量，注意是頻率。

好像我沒(méi)怎么解釋清楚。看關(guān)鍵看關(guān)鍵，傅里葉變換傅里葉變換傅里葉變換。重要的就是傅里葉變換

式中f(t)代表的是隨時(shí)間變化的函數(shù)，t代表的是時(shí)間，w代表的是頻率，看到頻率了吧，是不是t->w了（時(shí)間到頻率了），是不是代表了時(shí)域信號(hào)到頻域信號(hào)。

好，現(xiàn)在知道傅里葉變換的效果了吧。

我們?cè)賮?lái)看看時(shí)域信號(hào)和頻域信號(hào)之間的關(guān)系：

時(shí)域—>頻域
連續(xù)—>非周期
離散—>周期
周期—>離散
非周期—>連續(xù)

即時(shí)域連續(xù)信號(hào)，頻域是非周期信號(hào)；時(shí)域離散信號(hào)，頻域就是周期信號(hào)；時(shí)域周期信號(hào)，頻域就是離散信號(hào)；時(shí)域是非周期信號(hào)，頻域就是連續(xù)信號(hào)。

至于為什么?我相信很多人也不怎么清楚，只是把上面的結(jié)果給記下來(lái)了而已吧。如果想理解深透的話，建議可以去看 信號(hào)與系統(tǒng) 這本書(shū)，我還在總結(jié)中。

接下來(lái)我想簡(jiǎn)單聊聊我近期對(duì)于復(fù)數(shù)的相關(guān)理解。

復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的產(chǎn)生肯定是因?yàn)閷?shí)數(shù)信號(hào)不足以處理我們碰到的問(wèn)題才產(chǎn)生的。加入了復(fù)數(shù)有什么好處呢？ a+bi 就這么簡(jiǎn)單的式子說(shuō)明了什么？看上面的傅里葉變換中的j,上面的j和這里的i是相對(duì)應(yīng)的。想到了什么？對(duì)，就是歐拉公式

將這里的θ可以變成我們想要的任何參數(shù)，如w，是不是就都可以變換了。

相信大家在學(xué)傅里葉變換的時(shí)候，都知道頻譜吧，頻譜是由幅度譜和相位譜構(gòu)成的。在這里，大家可以看看復(fù)數(shù)，a+bi ，既包含了幅度又包含了相位信息。所以很多時(shí)候，我們對(duì)信號(hào)運(yùn)算時(shí)大多都是復(fù)數(shù)信號(hào)，特別是MATLAB中。

如果錯(cuò)誤，望指出，謝謝。
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本章所有的濾波都是通過(guò)傅里葉變換在頻率域中實(shí)現(xiàn)的，傅里葉變換在諸如圖像增強(qiáng)、圖像復(fù)原、圖像數(shù)據(jù)壓縮等方面起著很重要的作用

傅里葉變換是實(shí)現(xiàn)從空域或時(shí)域到頻域的轉(zhuǎn)換工具

粗淺理解：
上一章的空間濾波是在空域中操作的可以對(duì)圖像直接進(jìn)行操作，而這章的頻率濾波需要在頻域中操作，因此需要借助傅里葉變換得到相應(yīng)圖像的傅里葉變換，然后使用頻域?yàn)V波對(duì)其傅里葉變換進(jìn)行操作，最后借助卷積定理得到濾波的圖像

傅里葉譜：

相角定義：

功率譜：

DFT（Discrete Fourier Transform）：離散傅里葉變換

FFT（Fast Fourier Transformation）:離散傅氏變換（DFT）的快速算法

頻譜：頻域圖像

頻率域原點(diǎn)處變換的值[如 F(0,0)]稱為傅里葉變換的直流分量

具體傅里葉變換的過(guò)程理解過(guò)程可參考：
[1] https://www.cnblogs.com/RabbitHu/p/FFT.html
[2] https://www.cnblogs.com/h2zZhou/p/8405717.html
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下面是一段采樣頻率為44100Hz的離散語(yǔ)音信號(hào).

橫坐標(biāo)是時(shí)間， 縱坐標(biāo)是振幅（音量）.

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時(shí)域可以直觀的看出音量關(guān)于時(shí)間的變化，各個(gè)頻率（音調(diào)）音量的分量看不出來(lái).
這個(gè)時(shí)候就可以用傅立葉變換把時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)化到頻域

對(duì)于一個(gè)很小的時(shí)間區(qū)間（語(yǔ)音幀）, 音調(diào)近似看作不變.

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傅立葉變換, 將時(shí)域信號(hào)分解為不同的頻率, 振幅的三角函數(shù).

離散公式表示：

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這里的就是虛數(shù), 其中一個(gè)是該頻率下sin的分量, 另一個(gè)是cos的分量.

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假設(shè)只有一個(gè)數(shù)的話:
一定過(guò)原點(diǎn)，級(jí)數(shù)也一定過(guò)原點(diǎn)，這樣的級(jí)數(shù)就只能描述指定相位的周期函數(shù), 不具有普適性(只能表示頻率而丟失了相位的信息).
, 可以表示頻率, 也可以表示相位, 這種級(jí)數(shù)就可以描述任意周期函數(shù).

（一般沒(méi)有采用這種表示形式的原因是不便于設(shè)計(jì)算法進(jìn)行求解。）

虛數(shù)列包含了該語(yǔ)音幀各個(gè)頻率正弦波的振幅和相位.

頻率(音調(diào)):

振幅(音量):

相位:

某個(gè)語(yǔ)音幀的頻譜圖如下x軸為頻率y軸為振幅：

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所有諧波震蕩中頻率最小者稱為基本頻率(基頻)，而基頻高低決定了樂(lè)器彈奏此音符的音高。幾乎所有樂(lè)器除了可發(fā)出基頻音以外亦會(huì)伴隨著較高頻的聲音，稱為泛音。
理論上，泛音的頻率分別為基頻的2、3、4、5、6、…等倍。

所有語(yǔ)音幀找到基頻，轉(zhuǎn)化為音調(diào)，如下圖：

?????頻域中關(guān)于頻率的四種表示方法
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1、序號(hào)表示方法，根據(jù)時(shí)域中信號(hào)的樣本數(shù)取0 ~ N/2，用這種方法在程序中使用起來(lái)可以更直接地取得每種頻率的幅度值，因?yàn)轭l率值跟數(shù)組的序號(hào)是一一對(duì)應(yīng)的: X[k]，取值范圍是0 ~ N/2；
2、分?jǐn)?shù)表示方法，根據(jù)時(shí)域中信號(hào)的樣本數(shù)的比例值取0 ~ 0.5: X[?]，? = k/N，取值范圍是0 ~ 1/2；
3、用弧度值來(lái)表示，把?乘以一個(gè)2π得到一個(gè)弧度值，這種表示方法叫做自然頻率(natural frequency)：X[ω]，ω = 2π? = 2πk/N，取值范圍是0 ~ π；
4、以赫茲(Hz)為單位來(lái)表示，這個(gè)一般是應(yīng)用于一些特殊應(yīng)用，如取樣率為10 kHz表示每秒有10,000個(gè)樣本數(shù)：取值范圍是0到取樣率的一半。

傅里葉變換后，包含實(shí)部和虛部。當(dāng)輸入信號(hào)是純實(shí)數(shù)，按照傅里葉變換的奇偶對(duì)稱性質(zhì)，有：輸入信號(hào)中的偶對(duì)稱分量變換為實(shí)部，奇對(duì)稱分量變換為虛部。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的一维傅里叶变换后的复数怎样理解？的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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