沒時間寫文字，先貼幾張圖：（Google spreadsheets鏈接，可能需FQ）

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沒想到在我沒有加任何文字說明的情況下，這個帖子竟然在閱讀數上列第一。 這也能看懂？我還是解釋一下好了。這里所要探討的是不同范數下的點云對齊問題。

ICP是Iterative Closest Point的縮寫，更一般地也可以作為Iterative Corresponding Point的縮寫，是處理點云對齊（或稱點云匹配、配準，英語Pointcloud Registration）問題的方法。關于點云對齊和ICP，先上一些參考文獻：?

[1] Paul J. Besl and Neil D. Mckay. A method for registration of 3-d shapes. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 14(2):239–256, 1992.

[2] Yang Chen and Gérard Medioni. Object modelling by registration of multiple range images. Image Vision Comput., 10(3):145–155, 1992.

[3] Szymon Rusinkiewicz and Marc Levoy. Ef?cient variants of the ICP algorithm. In Third International Conference on 3D Digital Imaging and Modeling (3DIM), 2001.

[4] Timothée Jost. Fast Geometric Matching for Shape Registration. PhD thesis, Université de Neuchatel, 2002.?

[5] Helmut Pottmann, Qi-Xing Huang, Yong-Liang Yang, and Shi-Min Hu. Geometry and convergence analysis of algorithms for registration of 3D shapes. Int. J. Computer Vision, 67(3):277–296, 2006.

再上一篇最新的，其中探討了1范數在曲面擬合和點云對齊中的應用。我就是看了這篇，有了寫這個帖子的想法。

[6] S. Fl?ry and M. Hofer. Surface Fitting and Registration of Point Clouds using Approximations of the Unsigned Distance Function. Computer Aided Geometric Design (CAGD), 27(1): 60-77, 2010.?

這些文章在谷歌上就可以搜到并下載，不需要任何商業數據庫。

在點云對齊中，每個點到對齊目標都存在偏差，所有的偏差可組成一向量，不妨稱作偏差向量。最常規的想法就是使偏差的平方和最小，如使用最小二乘法解回歸問題，以前對點云對齊問題就是如此處理。用向量范數的語言來講，這也就是令偏差向量的2范數最小。那么探討其它范數的意義何在呢？基于1范數的優化有更好的穩健性，可以參看維基中的“Least absolute deviations”詞條和文獻[6]。而無窮大范數指示的是最大偏差絕對值，有重要的意義，例如在形位公差的評價中。

點到對齊目標的偏差有兩種常用的評價方法：點到對應點的距離和點到對應點的切平面的距離。后一種通常有更快的收斂速度，但需要切平面的信息。在以點到點的距離為偏差評價的情形，基于1范數和無窮大范數的優化可轉化為二次錐規劃(Second-Order Cone Programming，SOCP)問題。而在以點到點的距離為偏差評價的情形，基于1范數和無窮大范數的優化可轉化為線性規劃(Linear Programming，LP)問題。文獻[6]中有將基于1范數的優化進行轉化的方法，而這方法很容易應用到無窮大范數的情況。之所以要這樣轉化，將無約束優化問題轉為約束優化問題，我理解這是為了光滑性。原本基于1范數和無窮大范數的優化是非光滑的，轉化后則成為光滑的約束優化問題。盡管增加了變量數，又加上了約束，但這都是值得的，可見光滑性在優化中有多重要。此外，我還實現了另兩種方法：基于1范數的優化還有一種近似的解法，就是使用Huber函數來作1范數的近似，然后用LBFGS來求解這一優化問題；而對于更一般的基于p范數優化，可以用IRLS方法來近似求解。

我的開發環境是gVim+TDM-MinGW。各種工具包的選取如下，矩陣處理用的是Eigen，最近點搜索使用ANN，LP求解使用Glpk for Windows。SOCP求解似乎只有商業化工具，我試了一下Mosek，不過它給出的解真是詭異，可能是我的能力還不夠吧。試了幾種方法之后，還是用了一種笨辦法：將SOCP轉為SDP(Semi-Definite Programming，半正定規劃)，將相關數據寫出為sparse SDPA格式的文件，再調用CSDP來求解。基于Huber函數的優化中用的LBFGS方法采用的是libLBFGS。是如果在Matlab下，問題就會簡單些(推斷，我也沒實際驗證)，矩陣處理自不必說。最近點搜索方面，ANN依然可用(ANN MATLAB Wrapper)，我還用過這個。優化方面，Matlab本身就可解LP，而SOCP可用SeDuMi。

用一個小點云(約1400點)做了下測試，談不上驗證了什么。考慮了三種范數，所以有三張收斂圖。作為縱座標的指標，1范數用的是平均絕對誤差，2范數用的是均方根誤差，無窮大范數用的是最大絕對誤差(也就是無窮大范數本身)。圖中各種方法名稱的意義如下：

分為兩大類，以P 開頭的表示以點到點的距離為偏差評價方法，而以PL 開頭的表示以點到平面的距離為偏差評價方法。后面的符號中，1表示1范數，2表示2范數，i表示無窮大范數，1H表示使用Huber函數近似的1范數，RW(Re-Weighted)表示用IRLS計算p范數優化，RW后跟的數字就是p的值。此外，以P 開頭的方法中還有2T和RWT兩種變體，它們在求解最優變換時不是采用的閉合解方法，而是像以點到平面的距離為目標時使用的無窮小變換(也就是用切空間，所以用T來標明這類變體)。其實倒不如說P2和PRW兩個是另類，因為只有它們有閉合解方法。

然后是看圖說話。基于1范數的優化是為了穩健性而提出的，但是計算量是個大問題。如果只是為了穩健性，使用加權的最小二乘法可能更好，因為不僅更快也更靈活。而使用Huber函數來近似1范數正是為了減少計算量。在以點到點的距離為偏差評價的情況下，實驗顯示這一方法很成功，兩者的收斂曲線是重合的(在圖上找不到P1的曲線，因為它正好被P1H的給蓋住)。但在以點到平面的距離為偏差評價的情況下，兩者的收斂曲線不一致，而且PL1H的收斂比較糟糕，LBFGS搜索幾乎都不成功。具體的原因我不清楚，不過我推測還是光滑性不夠。基于無窮大范數的優化收斂速度則實在太慢。它對于對應性的要求應是很高的。在點云和目標距離還比較大時可以考慮先采用2范數進行迭代，后面再使用窮大范數。最后，很有趣的一點，在基于IRLS的p范數優化中，使用高于2的p值常能獲得比2范數優化更快的收斂速度。PRW3就明顯快于P2，而PLRW5更是在前幾個迭代步一騎絕塵，遠超其它方法。不過PLRW5穩定性不夠，最后沒能收斂到0，而且之所以用5而不是3或4，正是這兩種穩定性太糟。采用加權的ICP，以前的文獻，如[3,4]中也介紹過了，但其中的加權方法大抵是對匹配性更好的點對以較高的權值。可在基于IRLS的p范數(p>2)優化中則相反，對匹配性較差的點對(點之間距離更大者)以較高的權值。而實驗顯示這樣可以加速收斂，但會減少穩定性。其中的原理我覺得可以這樣解釋：匹配性較差的點更需要改善其匹配性，使用較高的權值可以令這些點更快地接近目標曲面，從而更快地改善匹配性；另一方面，利用匹配性較差的點對計算的最優變換可能是不“正確”的，進而使整個算法的結果不能正確地收斂。這說明在權值的選取上其實是存在著一個速度與穩定性的權衡，而這一點似乎前人并未提到。

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源代碼

轉載于:https://www.cnblogs.com/wildabc/archive/2009/11/22/1608065.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的重新ICP，在没有Matlab的日子里的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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