問題描述：程序的輸入包含兩個(gè)整數(shù)m和n，其中m<n。輸出是0~n-1范圍內(nèi)的m個(gè)隨機(jī)整數(shù)，要求：每個(gè)數(shù)選擇出現(xiàn)的概率相等，且按序輸出。該題目是從《編程珠璣》的第12章看到的。

　　學(xué)習(xí)過概率統(tǒng)計(jì)的同學(xué)應(yīng)該都知道每一個(gè)數(shù)字被抽取的概率都應(yīng)該為m/n. 那么我們?cè)趺礃?gòu)造出這樣的概率呢？在《編程珠璣》上面是這樣解析的：

　　依次考慮整數(shù)0,1,2，.....，n-1，并通過一個(gè)適當(dāng)?shù)碾S機(jī)測試對(duì)每個(gè)整數(shù)進(jìn)行選擇。通過按序訪問整數(shù)，我們可以保證輸出結(jié)果是有序的。 假如我們考慮m = 2,n = 5的情況，那么選擇的每一個(gè)數(shù)字的概率都應(yīng)該是2/5，我們?cè)趺礃硬拍茏龅侥?#xff1f;不慌張，慢慢來。

　　下面給出我的分析過程：在0,1,2,3,4這五個(gè)數(shù)字中，我們依次對(duì)每一個(gè)數(shù)進(jìn)行分析，第一次遇到0時(shí)，它的選擇概率應(yīng)該是2/5，如果選中了，我們開始測試第二個(gè)數(shù)1，這個(gè)時(shí)候因?yàn)?選中了，所以1這個(gè)數(shù)字的選中概率就變小了，變成1/4了，有人說這似乎不對(duì)吧，因?yàn)轭}目說讓每一個(gè)數(shù)字選中的概率是一樣大的，而現(xiàn)在？一個(gè)2/5，一個(gè)1/4，這怎么行呢？其實(shí)不是這樣的，認(rèn)真思考一下就知道了，數(shù)字1選中的概率等于什么？ 數(shù)字1選中的概率p(1) = 數(shù)字0選中的概率 *　（１／４）　＋　數(shù)組０沒選中的概率＊（２／４）這樣推算下　(2/5 * 1/4) + (3/5 * 2/4) = 8/20 = 2/5 。這不就一樣了嗎？呵呵！下面給出來自Knuth的《The Art of Computer Programming, Volume2:Seminumerical Algorithms》的偽代碼：

select = m remaining = n for i = [0,n)if (rand() % remaining) < selectprint iselect --remaining--

代碼很精簡，代碼遵守的規(guī)則應(yīng)該是要從r個(gè)剩余的整數(shù)中選出s個(gè)，我們以概率s/r選擇下一個(gè)數(shù)。這個(gè)概率的選擇方式和我們上面證明的是一樣的。所以在程序結(jié)束的時(shí)候一定會(huì)打印出m個(gè)數(shù)字，且每一個(gè)數(shù)字的被選擇概率相同，為m/n。 （不要小看任何一段小代碼，其背后隱含著很多的意義！）

當(dāng)然了，這個(gè)題目還有其他的解法，這是在網(wǎng)上看到的其他的解法。他們將這樣的問題抽象的定義為蓄水池抽樣問題。其思路是這樣的，先把前k個(gè)數(shù)放入蓄水池中，對(duì)第k+1，我們以k/(k+1)的概率決定是否要把它換入蓄水池，換入時(shí)我們可以隨機(jī)挑選一個(gè)作為替換位置，這樣一直到樣本空間N遍歷完，最后蓄水池中留下的就是結(jié)果。這樣的方法得到的結(jié)果也是正確的，且每一個(gè)數(shù)字被選擇的概率也是k/n。

證明：1) 當(dāng)遍歷到到m+1個(gè)元素時(shí)， 該元素被保存在A’中的概率為 m/(m+1), 前面m個(gè)元素被保存在A’中的概率為 1- (m/m+1 * 1/m) = m/m+1
2) 當(dāng)遍歷到第i個(gè)元素時(shí)，設(shè)前面i-1個(gè)元素被保存在A’中的概率為 m/(i-1)。根據(jù)算法， 第i個(gè)元素被保存在A’中的概率為m/i , 前面i-1各個(gè)元素留在A’中的概率為 m/(i-1) * (1-(m/i* 1/m) = m/i;
3)通過歸納，即可得到每個(gè)元素留在A’中的概率為 m/n;

參見：http://blog.csdn.net/hackbuteer1/article/details/6878627#reply?九樓smqjzzm1988?回復(fù)

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這個(gè)問題其實(shí)還可以擴(kuò)展一下：

　　如何從n個(gè)對(duì)象（可以以此看到這n個(gè)對(duì)象，但事先不知道n的值）中隨機(jī)選擇一個(gè)？比如在不知道一個(gè)文本中有多少行，在這樣的情況下要求你隨機(jī)選擇文件中一行，且要求文件的每一行被選擇的概率相同。 在知道n這個(gè)總對(duì)象個(gè)數(shù)的情況下，誰都知道概率是1/n. 但是我們現(xiàn)在不知道，怎么辦呢？

　　考慮這樣是不是可以，我們總是以1/i的概率去選擇每一次遍歷的對(duì)象，比如從1,2,3,4,5,6,....,N， 每一次遍歷到x時(shí)，總是以1/x的概率去選擇它.

整體思路如下：

　　我們總選擇第一個(gè)數(shù)字（文本行），并以概率1/2選擇第二個(gè)（行）,以1/3選擇第三行，也就是說設(shè)結(jié)果為result，遍歷第一個(gè)時(shí)result = 1,第二個(gè)時(shí)以1/2的概率替讓result = 2,這樣一直遍歷概率性的替換下去，最終的result就是你的結(jié)果。他被選擇的概率就是1/n。

　　證明思路如下：

　　第x個(gè)數(shù)被選擇的概率等于x被選擇的概率 * (x+1沒被選擇的概率) * (x+2沒有被選擇的概率) *......*(N沒有被選擇的概率) ?具體化一下

　　2被選擇的概率 = 1/2 ?* 2/3 * 3/4 * 4/5 .....* (n-1/n) 我想你知道答案了吧？ 對(duì)！ 是1/n.這樣就可以在不知道N的大小的情況下等概率的去選擇任意一個(gè)對(duì)象了！

參考偽代碼如下：

i = 0 while more input lineswith probability 1.0/++ichoice = this input line print choice

由于本文章中的偽代碼思路很清晰，所以不必要貼出代碼了。

以上轉(zhuǎn)自：http://www.cnblogs.com/fxplove/archive/2012/07/25/2607544.html

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現(xiàn)對(duì)取樣做一個(gè)小結(jié)：

1.輸出是0~n-1范圍內(nèi)的m個(gè)隨機(jī)整數(shù)，可重復(fù)。

void genRandoms1(int n,int m){for(int i=0;i<m;i++){int r=rand()%n;cout<<r<<' ';}cout<<endl; }

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2.輸出是0~n-1范圍內(nèi)的m個(gè)隨機(jī)整數(shù)，不可重復(fù)。

//generate random digit in [l,u)
int rand(int l,int u){
//srand(time(0));
return rand()%(u-l)+l;
}

void genRandoms2(int n,int m){int* a=new int[n];for(int i=0;i<n;i++){a[i]=i;}srand(time(0));for(int i=0;i<m;i++){int j=rand(i,n);swap(a[i],a[j]);cout<<a[i]<<' ';}cout<<endl;delete []a; }

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3.輸出是0~n-1范圍內(nèi)的m個(gè)有序的隨機(jī)整數(shù)，可重復(fù)。

方法一，先生成可重復(fù)m個(gè)隨機(jī)整數(shù)，然后排序。方法二，將生成的可重復(fù)m個(gè)隨機(jī)整數(shù)插入到非降序的集合中。

4.輸出是0~n-1范圍內(nèi)的m個(gè)有序的隨機(jī)整數(shù)，不可重復(fù)。

void genRandoms4(int n,int m){srand(time(0));for(int i=0;i<n;i++){if(rand()%(n-i)<m){cout<<i<<' ';m--;}}cout<<endl; }

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/freewater/archive/2012/08/12/2635465.html

總結(jié)

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