取样问题
問題描述：程序的輸入包含兩個整數(shù)m和n，其中m<n。輸出是0~n-1范圍內的m個隨機整數(shù)，要求：每個數(shù)選擇出現(xiàn)的概率相等，且按序輸出。該題目是從《編程珠璣》的第12章看到的。
學習過概率統(tǒng)計的同學應該都知道每一個數(shù)字被抽取的概率都應該為m/n. 那么我們怎么構造出這樣的概率呢？在《編程珠璣》上面是這樣解析的：
依次考慮整數(shù)0,1,2，.....，n-1，并通過一個適當?shù)碾S機測試對每個整數(shù)進行選擇。通過按序訪問整數(shù)，我們可以保證輸出結果是有序的。 假如我們考慮m = 2,n = 5的情況，那么選擇的每一個數(shù)字的概率都應該是2/5，我們怎么樣才能做到呢？不慌張，慢慢來。
下面給出我的分析過程：在0,1,2,3,4這五個數(shù)字中，我們依次對每一個數(shù)進行分析，第一次遇到0時，它的選擇概率應該是2/5，如果選中了，我們開始測試第二個數(shù)1，這個時候因為1選中了，所以1這個數(shù)字的選中概率就變小了，變成1/4了，有人說這似乎不對吧，因為題目說讓每一個數(shù)字選中的概率是一樣大的，而現(xiàn)在？一個2/5，一個1/4，這怎么行呢？其實不是這樣的，認真思考一下就知道了，數(shù)字1選中的概率等于什么？ 數(shù)字1選中的概率p(1) = 數(shù)字0選中的概率 * （１／４） ＋ 數(shù)組０沒選中的概率＊（２／４）這樣推算下 (2/5 * 1/4) + (3/5 * 2/4) = 8/20 = 2/5 。這不就一樣了嗎？呵呵！下面給出來自Knuth的《The Art of Computer Programming, Volume2:Seminumerical Algorithms》的偽代碼：
select = m remaining = n for i = [0,n)if (rand() % remaining) < selectprint iselect --remaining--代碼很精簡，代碼遵守的規(guī)則應該是要從r個剩余的整數(shù)中選出s個，我們以概率s/r選擇下一個數(shù)。這個概率的選擇方式和我們上面證明的是一樣的。所以在程序結束的時候一定會打印出m個數(shù)字，且每一個數(shù)字的被選擇概率相同，為m/n。 （不要小看任何一段小代碼，其背后隱含著很多的意義！）
當然了，這個題目還有其他的解法，這是在網(wǎng)上看到的其他的解法。他們將這樣的問題抽象的定義為蓄水池抽樣問題。其思路是這樣的，先把前k個數(shù)放入蓄水池中，對第k+1，我們以k/(k+1)的概率決定是否要把它換入蓄水池，換入時我們可以隨機挑選一個作為替換位置，這樣一直到樣本空間N遍歷完，最后蓄水池中留下的就是結果。這樣的方法得到的結果也是正確的，且每一個數(shù)字被選擇的概率也是k/n。
證明：1) 當遍歷到到m+1個元素時， 該元素被保存在A’中的概率為 m/(m+1), 前面m個元素被保存在A’中的概率為 1- (m/m+1 * 1/m) = m/m+1
2) 當遍歷到第i個元素時，設前面i-1個元素被保存在A’中的概率為 m/(i-1)。根據(jù)算法， 第i個元素被保存在A’中的概率為m/i , 前面i-1各個元素留在A’中的概率為 m/(i-1) * (1-(m/i* 1/m) = m/i;
3)通過歸納，即可得到每個元素留在A’中的概率為 m/n;
參見：http://blog.csdn.net/hackbuteer1/article/details/6878627#reply?九樓smqjzzm1988?回復
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這個問題其實還可以擴展一下：
如何從n個對象（可以以此看到這n個對象，但事先不知道n的值）中隨機選擇一個？比如在不知道一個文本中有多少行，在這樣的情況下要求你隨機選擇文件中一行，且要求文件的每一行被選擇的概率相同。 在知道n這個總對象個數(shù)的情況下，誰都知道概率是1/n. 但是我們現(xiàn)在不知道，怎么辦呢？
考慮這樣是不是可以，我們總是以1/i的概率去選擇每一次遍歷的對象，比如從1,2,3,4,5,6,....,N， 每一次遍歷到x時，總是以1/x的概率去選擇它.
整體思路如下：
我們總選擇第一個數(shù)字（文本行），并以概率1/2選擇第二個（行）,以1/3選擇第三行，也就是說設結果為result，遍歷第一個時result = 1,第二個時以1/2的概率替讓result = 2,這樣一直遍歷概率性的替換下去，最終的result就是你的結果。他被選擇的概率就是1/n。
證明思路如下：
第x個數(shù)被選擇的概率等于x被選擇的概率 * (x+1沒被選擇的概率) * (x+2沒有被選擇的概率) *......*(N沒有被選擇的概率) ?具體化一下
2被選擇的概率 = 1/2 ?* 2/3 * 3/4 * 4/5 .....* (n-1/n) 我想你知道答案了吧？ 對！ 是1/n.這樣就可以在不知道N的大小的情況下等概率的去選擇任意一個對象了！
參考偽代碼如下：
i = 0 while more input lineswith probability 1.0/++ichoice = this input line print choice由于本文章中的偽代碼思路很清晰，所以不必要貼出代碼了。
以上轉自：http://www.cnblogs.com/fxplove/archive/2012/07/25/2607544.html
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現(xiàn)對取樣做一個小結：
1.輸出是0~n-1范圍內的m個隨機整數(shù)，可重復。
void genRandoms1(int n,int m){for(int i=0;i<m;i++){int r=rand()%n;cout<<r<<' ';}cout<<endl; }?
2.輸出是0~n-1范圍內的m個隨機整數(shù)，不可重復。
//generate random digit in [l,u)
int rand(int l,int u){
//srand(time(0));
return rand()%(u-l)+l;
}
void genRandoms2(int n,int m){int* a=new int[n];for(int i=0;i<n;i++){a[i]=i;}srand(time(0));for(int i=0;i<m;i++){int j=rand(i,n);swap(a[i],a[j]);cout<<a[i]<<' ';}cout<<endl;delete []a; }
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3.輸出是0~n-1范圍內的m個有序的隨機整數(shù)，可重復。
方法一，先生成可重復m個隨機整數(shù)，然后排序。方法二，將生成的可重復m個隨機整數(shù)插入到非降序的集合中。
4.輸出是0~n-1范圍內的m個有序的隨機整數(shù)，不可重復。
void genRandoms4(int n,int m){srand(time(0));for(int i=0;i<n;i++){if(rand()%(n-i)<m){cout<<i<<' ';m--;}}cout<<endl; }轉載于:https://www.cnblogs.com/freewater/archive/2012/08/12/2635465.html
總結
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