轉(zhuǎn)載自：http://www.cnblogs.com/king1302217/archive/2010/07/08/1773413.html

?

求點集中的最近點對有以下兩種方法:

設(shè)p1=(x1, y1), p2=(x2, y2), …, pn=(xn, yn)是平面上n個點構(gòu)成的集合S，設(shè)計算法找出集合S中距離最近的點對。

?

1、蠻力法（適用于點的數(shù)目比較小的情況下）

???? 1）算法描述：已知集合S中有n個點，一共可以組成n(n-1)/2對點對，蠻力法就是對這n(n-1)/2對點對逐對進行距離計算，通過循環(huán)求得點集中的最近點對：

???? 2）代碼描述：

double MinDistance = double.maxvalue；? //設(shè)置一個MinDistance存儲最近點對的距離，初始值為無窮大

int PointIndex1,PointIndex2； //設(shè)置PointIndex1,PointIndex2分別存儲最近點對的兩個點編號

for (i=1; i< n; i++)??? //循環(huán)計算n(n-1)/2對點對的距離 {

???? for (j=i+1; j<=n; j++) ???? {

?????????? double PointDistance = Distance(S[i],S[j]);?? //求得point i和point j之間的距離

?????????? if PointDistance < MinDistance;? //如果當前點對距離小于最小點對距離，則設(shè)置最小點對距離等于當前點對距離

?????????? {

???????????????? MinDistance = PointDistance;

???????????????? PointIndex1 = i;

???????????????? PointIndex2 = j;

??????????? }

?????? }

}

????? }? ???? 3）算法時間復雜度：算法一共要執(zhí)行 n(n-1)/2次循環(huán)，因此算法復雜度為O(n²)

?

2、分治法

???? 1）算法描述：已知集合S中有n個點，分治法的思想就是將S進行拆分，分為2部分求最近點對。算法每次選擇一條垂線L，將S拆分左右兩部分為S_L和S_R，L一般取點集S中所有點的中間點的x坐標來劃分，這樣可以保證S_L和S_R中的點數(shù)目各為n/2，

（否則以其他方式劃分S，有可能導致S_L和S_R中點數(shù)目一個為1，一個為n-1，不利于算法效率，要盡量保持樹的平衡性）

依次找出這兩部分中的最小點對距離：δ_L和δ_R，記S_L和S_R中最小點對距離δ = min（δ_L，δ_R），如圖1：

???

???? 以L為中心，δ為半徑劃分一個長帶，最小點對還有可能存在于S_L和S_R的交界處，如下圖2左圖中的虛線帶，p點和q點分別位于S_L和S_R的虛線范圍內(nèi)，在這個范圍內(nèi)，p點和q點之間的距離才會小于δ，最小點對計算才有意義。

????

?

?

?

?

?

Figure 2

?

?

????? 對于S_L虛框范圍內(nèi)的p點，在S_R虛框中與p點距離小于δ的頂多只有六個點，就是圖二右圖中的2個正方形的6的頂點。這個可以反推證明，如果右邊這2個正方形內(nèi)有7個點與p點距離小于δ，例如q點，則q點與下面正方形的四個頂點距離小于δ，則和δ為S_L和S_R中的最小點對距離相矛盾。因此對于S_L虛框中的p點，不需求出p點和右邊虛線框內(nèi)所有點距離，只需計算S_R中與p點y坐標距離最近的6個點，就可以求出最近點對，節(jié)省了比較次數(shù)。

（否則的話，最壞情形下，在S_R虛框中有可能會有n/2個點，對于S_L虛框中的p點，每次要比較n/2次，浪費了算法的效率）

???? 代碼描述：

???? 1）對點集S的點x坐標和y坐標進行升序排序，獲得點集S_x和S_y

???? 2）令δ=∞;?? //δ為最小點位距離

???? 3）Divide_conquer（S_x，S_y，δ）? //分治法

???????????? if （S_x.count=1） then δ=∞;?? //如果S_x中只有一個點，則δ=∞

????????????????? return δ;

???????????? else if（S_x.count=2 and d（S_x.[0],S_x.[1]）<δ） //如果S_x中只有2個點，則δ為兩點之間距離

?????????????????? δ=d（S_x.[0],）S_x.[1]）;?

?????????????????? return δ;

???????????? else??? //如果S_x中多于2個點，則將S_x,S_y分治，以中心點畫線，將S_x分為左右兩部分S_xL和S_xR，S_y分為S_yL和S_yR

?????????????????? j₁=1,j₂=1,k₁=1,k₂=1;

?????????????????? mid = S_x.count/2;? //mid為S_x中的中間點點號

?????????????????? L = S_x.[mid].x;???? //L為S_x中的中間點x坐標

?????????????????? for(i=1,i<S_x.count,i++)

?????????????????? {

???????????????????????? if(i<=mid)??? //將S_x中間線以左地方的點存入到S_xL，新數(shù)組保持原來的升序性質(zhì)

??????????????????????????????? S_xL[k₁] = S_x[i]?? k₁++;

???????????????????????? else?? //將S_x中間線以右的地方的點存入到S_xR，新數(shù)組保持原來的升序性質(zhì)

??????????????????????????????? S_xR.count[k₂] = S_x[i]?? k₂++;

???????????????????????? if(S_y[i].x <L)?? //將S_y中間線以左地方的點存入到S_yL，新數(shù)組保持原來的升序性質(zhì)

??????????????????????????????? S_yL[j₁] = S_x[i]?? j₁++;

?

???????????????????????? else?? //將S_y中間線以右地方的點存入到S_yR，新數(shù)組保持原來的升序性質(zhì)

?

??????????????????????????????? S_yR[j₂] = S_x[i]?? j₂++;

?

?

?????????????????? }

????????????? δ_L = Divide_conquer（S_xL，S_yL，δ）;??? //獲取S_x中的的最小點位距離δ_L

?

????????????? δ_R = Divide_conquer（S_xR，S_yR，δ）;?? //獲取S_y中的的最小點位距離δ_R

????????????? δ= min (δ_L,δ_R);

????????????? δ=merge(S_yL，S_yR，δ);?? //獲S_x中S_y交界處的最小點位距離，并綜合 δ_L和δ_R 求出點集的最小點位距離δ

????? return δ;

?

????? 函數(shù)merge(S_yL，S_yR，δ)

????? merge(S_yL，S_yR，δ)

????? {

????????? i₁=1,i₂=1;

????????? for(i=1,i<S_yL.count,i++)?? //獲取S_yL中在左邊虛框(距離小于δ)內(nèi)的點，存入到S'_yL中，新數(shù)組保持原來的升序性質(zhì)

????????? {

????????????? if(S_yL[i].x>L-δ)

????????????????? then S'_yL[i₁]= S_yL[i], i₁++,

?????????? }

????????? for(i=1,i<S_yR.count,i++)? //獲取S_yR中在右邊虛框(距離小于δ)內(nèi)的點，存入到S'_yR中，新數(shù)組保持原來的升序性質(zhì)

????????? {

????????????? if(S_yR[i].x<L+δ)

????????????? then S'_yR[i₂]= S_yR[i], i₂++,

????????? }

?

????????? t=1;

????????? for(i=1,i<S'_yL.count,i++)

?????????? {?????

??????????????? while(S'_yR[t].y< S'_yL[t].y and t < S_yR.count)? //獲取點集S'_yR內(nèi)距離點S'_yL[t]y坐標最接近的點號

??????????????? { t++; }

??????????????? for( j= max(1,t-3), j<=min(t+3,S'_yR.count),j++)?? //計算S'_yR中的點與S'_yL[t]y坐標相鄰的六個點的距離

??????????????? {

????????????????????? if(d(S'_yL[i],S'_yL[j])<δ)??? //如果前兩點之間距離小于δ

????????????????????? then δ = d(S'_yL[i],S'_yL[j]);?? //則最小點位距離δ為當前兩點之間距離

??????????????? }

????????? return δ

????? }

?

3）算法時間復雜度：

????? 首先對點集S的點x坐標和y坐標進行升序排序，需要循環(huán)2nlogn次，復雜度為O(2nlogn)

????? 接下來在分治過程中，對于每個S'_yL中的點，都需要與S'_yR中的6個點進行比較

??????????? O(n)= 2O(n/2) + (n/2)*6? （一個點集劃分為左右兩個點集，時間復雜度為左右兩個點集加上中間區(qū)域運算之和）

????? 其解為O(n)< O(3nlogn)

???? 因此總的時間復雜度為O(3nlogn)，比蠻力法的O(n²)要高效。

?

?

例題：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1007

參考代碼：http://www.cnblogs.com/hate13/p/4160111.html

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/hate13/p/4160056.html

創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎勵來咯，堅持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的[转] 最近点对距离问题的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。